„Wienerprozess“ – Versionsunterschied

* Ist <math> (X_t)_{t\ge 0} </math> eine [[geometrische brownsche Bewegung]], so ist <math> W_t := \ln(X_t) </math> eine brownsche Bewegung (mit Drift). Andererseits kann man aus jedem Wienerprozess <math> (X_t)_{t\ge 0} </math> mit Drift μ<math>\mu</math> und Volatilität σ<math>\sigma</math> durch <math> Y_t:=e^{X_t-\frac{\sigma^2 t}{2}} </math> eine geometrische brownsche Bewegung gewinnen.

* Der symmetrische [[Random Walk]] kann als zeitdiskretes Pendant zum Wienerprozess angesehen werden, denn es gilt der folgende Konvergenzsatz: ist für <math> n \in \mathbb{N} </math> der Random Walk <math> (R_t)_{t\in T} </math> auf dem diskreten Zeitgitter <math> T= \left\{ 0, \tfrac{1}{n}, \tfrac{2}{n}, \ldots \right\} </math> so definiert, dass <math> R_0=0 </math> gilt und <math>R</math> sich in jedem Zeitschritt mit Wahrscheinlichkeit ½<math>1/2</math> um <math> \sqrt{\tfrac{1}{n}} </math> nach oben und mit Wahrscheinlichkeit ½<math>1/2</math> um <math>\sqrt{\tfrac{1}{n}}</math> nach unten bewegt, so konvergiert <math>R</math> für <math>n \to \infty</math> gegen einen Standard-Wienerprozess (Invarianzprinzip von Donsker).