„Gegenbauer-Polynom“ – Versionsunterschied
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[[Bild:Mplwp gegenbauer Cn05a1.svg|mini|hochkant=1.4|Gegenbauer Polynome mit ''α''=1]]
[[Bild:Mplwp gegenbauer Cn05a2.svg|mini|hochkant=1.4|Gegenbauer Polynome mit ''α''=2]]
Die '''Gegenbauer-Polynome''', auch '''ultrasphärische Polynome''' genannt, sind eine Menge [[Orthogonale Polynome|orthogonaler Polynome]] auf dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[-1,1]</math> mit der [[Gewichtungsfunktion]]
:<math>
Zeile 9:
C_n^{(0)} (z) = \sum^{\lfloor n/2 \rfloor}_{m=0}(-1)^m\frac{(n-m-1)!}{m!(n-2m)!}(2z)^{n-2m},</math>
Sie lassen sich auch durch eine [[Gaußsche hypergeometrische Funktion|hypergeometrische Funktion]]
:<math>C_n^{(\alpha)}(z) = \frac{(2\alpha+n-1)!}{(2\alpha-1)!\,n!}\,_2F_1\left(-n,2\alpha+n;\alpha+\frac{1}{2};\frac{1-z}{2}\right)</math>
Der Wert für
:<math>C_n^{(\alpha)} (1) = {n+2\alpha-1\choose n} .</math>
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