Wikipedia

„Gegenbauer-Polynom“ – Versionsunterschied

Versionsgeschichte interaktiv durchsuchen
[gesichtete Version][gesichtete Version]
← Zum vorherigen VersionsunterschiedZum nächsten Versionsunterschied →
Inhalt gelöscht Inhalt hinzugefügt
VisuellWikitext
plots hinzugefügt
KKeine Bearbeitungszusammenfassung
Zeile 1:
[[Bild:Mplwp gegenbauer Cn05a1.svg|mini|hochkant=1.4|Gegenbauer Polynome mit ''α''=1]]
[[Bild:Mplwp gegenbauer Cn05a2.svg|mini|hochkant=1.4|Gegenbauer Polynome mit ''α''=2]]
Die '''Gegenbauer-Polynome''', auch '''ultrasphärische Polynome''' genannt, sind eine Menge [[Orthogonale Polynome|orthogonaler Polynome]] auf dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[-1,1]</math> mit der [[Gewichtungsfunktion]] ''(1−x<supmath>(1-x^2</sup>)<sup>&^{\alpha;−1 - 1/2}</supmath>'', mit ''&<math>\alpha; > −1-1/2''</math>. Sie sind benannt nach dem Mathematiker [[Leopold Gegenbauer]] und bilden die Lösung der [[Gegenbauer-Differentialgleichung]]. Die Polynome haben die Form
 
:<math>
Zeile 9:
C_n^{(0)} (z) = \sum^{\lfloor n/2 \rfloor}_{m=0}(-1)^m\frac{(n-m-1)!}{m!(n-2m)!}(2z)^{n-2m},</math>
 
Sie lassen sich auch durch eine [[Gaußsche hypergeometrische Funktion|hypergeometrische Funktion]] ''<submath>2{}_2 F_1</submath>F<sub>1</sub>'' darstellen:
:<math>C_n^{(\alpha)}(z) = \frac{(2\alpha+n-1)!}{(2\alpha-1)!\,n!}\,_2F_1\left(-n,2\alpha+n;\alpha+\frac{1}{2};\frac{1-z}{2}\right)</math>
 
Der Wert für ''<math>z''=1</math> ist
 
:<math>C_n^{(\alpha)} (1) = {n+2\alpha-1\choose n} .</math>
Abgerufen von „https://de.wikipedia.org/wiki/Gegenbauer-Polynom“