„Lie-Algebra“ – Versionsunterschied
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Eine '''Lie-Algebra''', benannt nach [[Sophus Lie]], ist eine [[algebraische Struktur]], die mit einer [[Lie-Klammer]] versehen ist, d. h. es existiert ein [[Antisymmetrische Relation|antisymmetrischer]] [[Automorphismus]], der die [[Jacobi-Identität]] erfüllt. Ene Lie-Algebra ist ein Spezialfall einer algebraischen Struktur, die hauptsächlich zum Studium geometrischer Objekte wie [[Lie-Gruppe]]n und differenzierbarer [[Mannigfaltigkeit]]en eingesetzt wird.
== Definition ==
Zeile 16:
Wenn der Körper <math>K</math> nicht [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] 2 hat, so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die dritte Eigenschaft herleiten (man wähle <math>y=x</math>).
Lie-Klammern sind im Allgemeinen nicht assoziativ: <math>[[x, y], z]</math> muss nicht gleich <math>[x, [y, z]]</math> sein. Jedoch gilt für Lie-Klammern immer das ''[[
Anstelle eines Körpers und eines Vektorraums lässt sich eine Lie-Algebra allgemeiner für einen kommutativen unitären Ring definieren.
Zeile 27:
::<math style="margin-left:2em">[A,B] = AB - BA</math>
:als Lie-Klammer. Ist speziell <math>V=K^n</math>, so schreibt man <math>\mathfrak{gl}_n(K)</math> oder <math>\mathfrak{gl}(n,K)</math> statt <math>\mathfrak{gl}(V)</math>.
* Die Endomorphismen mit [[Spur (Mathematik)|Spur]] <math>0</math> in <math>\mathfrak{gl}(V)</math> bilden ebenfalls eine Lie-Algebra. Sie heißt „spezielle lineare Lie-Algebra“ und wird mit <math>\mathfrak{sl}(V)</math> bzw. <math>\mathfrak{sl}_n(K)</math> bezeichnet. Diese Benennung leitet sich aus der Lie-Gruppe <math>{\rm SL}(n, \mathbb{R})</math> aller <math>(n\times n)</math>-Matrizen mit reellen Elementen und [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] 1 ab, denn der [[Tangentialraum]] der [[Einheitsmatrix]] kann mit dem Raum aller reellen <math>(n \times n)</math>-Matrizen mit Spur 0 identifiziert werden, und die [[Matrizenmultiplikation]] der Lie-Gruppe liefert über den Kommutator die Lie-Klammer der Lie-Algebra.
* Allgemeiner kann man jede [[assoziative Algebra]] <math>A</math> zu einer Lie-Algebra machen, indem man als Lie-Klammer den [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]]
::<math style="margin-left:2em">[x,y] = x\cdot y - y\cdot x</math>
Zeile 35:
=== Aus der Physik ===
In der Physik sind die Lie-Gruppen <math>\mathrm{SO}(n)</math> beziehungsweise <math>\mathrm{SU}(n)</math> wichtig, da sie Drehungen des reellen bzw. komplexen Raumes in <math>n</math> Dimensionen beschreiben. Beispielsweise lautet die Kommutatorrelation der [[Spezielle orthogonale Gruppe|speziellen orthogonalen Gruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math> zugrundeliegenden Lie-Algebra <math>\mathfrak{so}(3)</math>
:<math>[L_i, L_j] = -\sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} L_k</math>
in der Basis der drei <math>3\times 3</math>-Matrizen
:<math>(L_i)_{jk} = \varepsilon_{ijk}</math>
wobei <math>\varepsilon</math> das [[Levi-Civita-Symbol]] bezeichnet. Durch Anwenden des [[Matrixexponential]]s auf die Generatoren erhält man die drei Koordinatentranformationen für [[Drehmatrix|Drehungen]] um die Koordinatenachsen
:<math>R_i = \exp\left(\theta L_i\right)</math>.
Allgemein lässt sich jedes Element der Lie-Gruppe <math>\mathrm{SO}(3)</math> und somit jede beliebige Rotation im dreidimensionalen reellen Raum durch das Exponential einer Linearkombination von Basisvektoren der Lie-Algebra <math>\mathfrak{so}(3)</math>
:<math>R = \exp\left(\sum_{i=1}^3 \theta_i L_i\right)</math>
Zeile 48:
Die glatten [[Vektorfeld]]er auf einer differenzierbaren [[Mannigfaltigkeit]] bilden eine unendlichdimensionale Lie-Algebra. Die Vektorfelder operieren als [[Lie-Ableitung]] auf dem Ring der glatten Funktionen.
Seien <math>X, Y</math> zwei glatte Vektorfelder und <math>f</math> eine glatte Funktion.
Wir definieren die Lie-Klammer durch
:<math>\ [X, Y]f := (XY - YX)f</math>.
Zeile 61:
=== Konstruktionen ===
Aus gegebenen Lie-Algebren kann man neue konstruieren, siehe dazu
* [[Affine Lie-Algebra]]
* [[Semidirekte Summe]]
Zeile 71:
== Unteralgebra ==
=== Definition ===
Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra <math>\mathfrak g</math> ist ein [[Untervektorraum]] <math>\mathfrak h\subseteq \mathfrak g</math>, der abgeschlossen unter der Lie-Klammer ist. Das heißt, für alle <math>x,y\in \mathfrak h</math> gilt
<math>[x,y]\in \mathfrak h</math>. Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra ist selbst eine Lie-Algebra.
Zeile 90:
=== Abelsche Lie-Algebra ===
Eine Lie-Algebra ist ''abelsch'', wenn die Lie-Klammer identisch null ist.
Jeder Vektorraum bildet eine abelsche Lie-Algebra, wenn man jede Lie-Klammer als Null definiert.
Zeile 101:
\mathcal C^1\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathfrak g],\;\;\;
\mathcal C^2\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathcal C^1\mathfrak g],
</math>
allgemein
:<math>\mathcal C^{n+1}\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathcal C^n\mathfrak g]</math>
definiert. Gelegentlich wird sie auch <math>\mathfrak g^{n}</math> geschrieben.
Zeile 149:
==== Zerlegung ====
Halbeinfache Lie-Algebren haben eine Zerlegung
:<math>\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\alpha}\mathfrak{g}_\alpha</math>
in eine [[Cartan-Unteralgebra]] <math>\mathfrak{h}</math> und Wurzelräume <math>\mathfrak{g}_\alpha</math>, siehe [[Wurzelsystem#Lie-Algebren]].
Zeile 184:
== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv:_Lie-Algebren:_Wurzelsysteme:_Klassifikation_von_Wurzelsystemen | Ausführlicher Beweis der Klassifikation}}
* Leistner: [http://www.maths.adelaide.edu.au/thomas.leistner/2012-Lie/TopicD2012-handout4-classical.pdf The classical Lie algebras and their root systems.]
{{Normdaten|TYP=s|GND=4130355-6}}
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