Wikipedia

„Lie-Algebra“ – Versionsunterschied

Versionsgeschichte interaktiv durchsuchen
[gesichtete Version][ungesichtete Version]
← Zum vorherigen VersionsunterschiedZum nächsten Versionsunterschied →
Inhalt gelöscht Inhalt hinzugefügt
VisuellWikitext
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Neoleviathan (Diskussion | Beiträge)
122 Bearbeitungen
→Aus der Physik: Die ganzen Matrizen etwas verkleinert
Zeile 38:
 
Beispiel: Die Spezielle Orthogonale Gruppe in drei Dimensionen <math>\mathrm{SO}(3) = \{O \in\mathrm{Mat}(3,\mathbb{R}) : OO^{\top}=I, \det O=1\}</math> hat drei Parameter und beschreibt Rotationen um eine beliebige Achse. Die Parameter seien <math>\phi</math>, <math>\theta</math> und <math>\alpha</math>.
 
:<math>R(\phi)_{x}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\phi) & \sin(\phi) \\ 0 & -\sin(\phi) & \cos(\phi) \end{pmatrix}</math>▼
:<math>R(\thetaphi)_{yx}= \left(\begin{pmatrixsmallmatrix} \cos(\theta)1 & 0 & -\sin(\theta)0 \\ 0 & 1\cos(\phi) & 0\sin(\phi) \\ 0 & -\sin(\thetaphi) & 0 & \cos(\thetaphi) \end{pmatrixsmallmatrix}\right)</math>
 
:<math>R(\alpha)_{z}=\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>▼
▲:<math>R(\phitheta)_{xy}=\left(\begin{pmatrixsmallmatrix} 1\cos(\theta) & 0 & 0-\sin(\theta) \\ 0 & \cos(\phi)1 & \sin(\phi)0 \\ 0 & -\sin(\phitheta) & 0 & \cos(\phitheta) \end{pmatrixsmallmatrix}\right)</math>
▲:<math>R(\alpha)_{z}=\left(\begin{pmatrixsmallmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrixsmallmatrix}\right)</math>
Diese Matrizen sind eine Darstellung von Rotationen in <math>\mathbb{R}^{3}</math> und sind nicht kommutativ, dies bedeutet, dass z.&nbsp;B. eine Rotation um die x-Achse gefolgt von einer um die y-Achse im Allgemeinen nicht das Gleiche ist wie eine Rotation um die y-Achse gefolgt von einer um die x-Achse. Die Aufgabe ist jetzt, alle Generatoren mit der obigen Formel zu finden. Dazu wird die Ableitung berechnet (Beispiel für <math>R(\phi)_{x}</math>):
:<math>\frac{d R(\phi)_{x}}{d \phi}=\left(\begin{pmatrixsmallmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\sin(\phi) & \cos(\phi) \\ 0 & -\cos(\phi) & -\sin(\phi) \end{pmatrixsmallmatrix}\right)</math>
Dann der Parameter <math>\phi=0</math> gesetzt und multipliziert mit der negativen [[Imaginäre Einheit|imaginären Einheit]] <math>-i</math>:
:<math>J_{x}=\left(\begin{pmatrixsmallmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i\\ 0 & i & 0 \end{pmatrixsmallmatrix}\right)</math>
Analog ergibt sich für die anderen Matrizen:
:<math>J_{y}=\left(\begin{pmatrixsmallmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrixsmallmatrix}\right)</math>
:<math>J_{z}=\left(\begin{pmatrixsmallmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrixsmallmatrix}\right)</math>
Dies ergibt die bekannten Drehimpulsmatrizen als Generatoren von Rotationen im <math>\mathbb{R}^{3}</math>. Ihre Kommutatorrelation ist aus der Quantenmechanik bekannt als:
:<math>[J_{i},J_{j}]=i\epsilon_{ijk}J_{k}</math>
Zeile 56 ⟶ 58:
:<math>e^{iJ_{y}\theta}=1+iJ_{y}\theta-\frac{1}{2}J^{2}_{y}\theta^{2}-\frac{1}{3!}iJ^{3}_{y}\theta^{3}+ \dots</math>
Nun einsetzen und Grenzwert bestimmen:
:<math>\begin{align}e^{iJ_{y}\theta}&=\left(\begin{pmatrixsmallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrixsmallmatrix}\right)+ i \left(\begin{pmatrixsmallmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrixsmallmatrix}\right)\theta-\frac{1}{2}\left(\begin{pmatrixsmallmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrixsmallmatrix}\right)^{2}\theta^{2}+ \ldots\\
&=\left(\begin{pmatrixsmallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrixsmallmatrix}\right)+\left(\begin{pmatrixsmallmatrix} 0 & 0 & -\theta \\ 0 & 0 & 0 \\ \theta & 0 & 0 \end{pmatrixsmallmatrix}\right)-\frac{1}{2}\left(\begin{pmatrixsmallmatrix} \theta^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \theta^{2} \end{pmatrixsmallmatrix}\right)- \frac{1}{3!} \left(\begin{pmatrixsmallmatrix} 0 & 0 & \theta^{3} \\ 0 & 0 & 0 \\ \theta^{3} & 0 & 0 \end{pmatrixsmallmatrix}\right)+ \ldots\\
&= \left(\begin{pmatrixsmallmatrix} 1-\frac{1}{2}\theta^{2}+ \ldots & 0 & -(\theta-\frac{1}{3!}\theta^{3}+ \ldots) \\ 0 & 1 & 0 \\ \theta-\frac{1}{3!}\theta^{3}+ \ldots & 0 & 1-\frac{1}{2}\theta^{2}+ \ldots \end{pmatrixsmallmatrix}\right)=\left(\begin{pmatrixsmallmatrix} \cos(\theta) & 0 & -\sin(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) \end{pmatrixsmallmatrix}\right)
\end{align}</math>
 
In Kurzfassung:
:<math>e^{iJ_{y}\theta}=\left(\begin{pmatrixsmallmatrix} \cos(\theta) & 0 & -\sin(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) \end{pmatrixsmallmatrix}\right)</math>
:<math>R(\theta)_{y}=e^{iJ_{y}\theta}</math>
Ähnliches Verfahren bei den anderen Rotationen.
Abgerufen von „https://de.wikipedia.org/wiki/Lie-Algebra“