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„Bandstruktur“ – Versionsunterschied

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mit dem [[Impuls]] <math>\vec p.</math>
 
Elektronen in einem Festkörper, auch als [[Kristallelektron|Kristallelektronen]]en bezeichnet, können durch den Einfluss des periodischen Gitterpotentials nicht mehr als freie Teilchen angesehen werden. Im einfachsten Fall kann ein Kristallelektron dann als ein [[Quasiteilchen]] mit einer von der [[RuhemasseMasse (Physik)|Masse]] des freien Elektrons <math>m</math> abweichenden [[effektive Masse|effektiven Masse]] <math>m^*</math> beschrieben werden, was in der Dispersionsrelation zu Parabelkurven abweichender Krümmung <math>\hbar^2/m^*</math> führt.
 
Die vollständige Dispersionsrelation <math>E(\vec k)</math> der Kristallelektronen wird durch die Bandstruktur beschrieben: diese stellt die Energie über dem Wellenvektor <math>\vec k</math> (graphisch) dar. In der direkten Umgebung der Hochsymmetriepunkte, wie dem Punkt <math>\Gamma</math>, ist die Parabelform der Kurven noch zu erkennen.
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==== Direkter Bandübergang ====
[[Datei:Bandstruktur - direkter Bandübergang.svg|mini|direkterDirekter Bandübergang<br />im (vereinfachten) Bandstrukturdiagramm]]
Direkte Bandübergänge erfolgen praktisch ohne Änderung des Impulsvektors <math> \vec k </math>, also senkrecht im Diagramm (der Impulsübertrag durch das Photon auf das Elektron ist vergleichsweise klein und daher zu vernachlässigen). Sie sind hoch wahrscheinlich, da neben der Zuführung der nötigen Sprungenergie, z.&nbsp;B. durch ein Photon, keine zusätzliche Bedingung erfüllt sein muss.
 
==== Indirekter Bandübergang ====
[[Datei:Bandstruktur - indirekter Bandübergang.svg|mini|indirekterIndirekter Bandübergang<br />im (vereinfachten) Bandstrukturdiagramm]]
Bei indirekten Bandübergängen ändert sich zusätzlich der Impulsvektor <math> \vec k </math>, im Diagramm erfolgen sie also „schräg“. Um solche Übergänge auszulösen, muss im Falle einer Interbandanregung also nicht nur die Energie zugeführt werden, sondern auch noch der zusätzliche Impuls. Dies kann z.&nbsp;B. durch ein passendes Phonon erfolgen, wie es bei Temperaturen oberhalb des [[absoluter Nullpunkt|absoluten Nullpunkts]] durch die thermische [[Gitterschwingung]] existieren kann. Durch diese Verknüpfung zweier Bedingungen sind indirekte Übergänge in der Regel deutlich weniger wahrscheinlich als direkte Übergänge. Die Wahrscheinlichkeit indirekter Bandübergänge ist zudem temperaturabhängig.
 
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|}
 
Es gibt drei Varianten derartiger Bandstrukturdiagramme (auch als ZonenschemenZonenschemata oder Energie-Wellenvektor-Diagramme bezeichnet):
* erweitertes Zonenschema: Darstellung der verschiedenen Bänder in verschiedenen Zonen
* '''reduziertes Zonenschema''': Darstellung aller Bänder in der 1.&nbsp;[[Brillouin-Zone]]
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== Theorie von Bandstrukturen ==
Die Berechnung von Bandstrukturen realer Materialien erfolgt im Allgemeinen mit Hilfe des [[Bändermodell]]s. Hierbei wird der Kristall lediglich über eine [[Schrödingergleichung|Einteilchen-SchröderingergleichungSchrödingergleichung]] approximiert und mit Hilfe von [[Ansatz (Mathematik)|Ansatzfunktionen]] in Form von [[Bloch-Funktion|Blochfunktionen]] gelöst. Diese setzen sich zunächst aus einem [[vollständigen Satz]] von unendlich vielen [[Orthonormalbasis|Basisfunktionen]] zusammen, wobei die explizite mathematische Form je nach verwendetem Modell sehr unterschiedlich ausfallen kann. Die bedeutendsten Ansätze sind der Fourierreihenansatz im Modell der quasifreien Elektronen und die Linearkombination von Atomorbitalen in der Tight-Binding-Methode. Die unendlich langen Summen approximiert man in der Praxis mit einer endlichen Anzahl von Basisfunktionen, wobei je nach verwendetem Modell und betrachtetem Material (v.&nbsp;a. Abhängigkeit des [[Chemische Bindung|Bindungstyp]]) die Zahl der verwendeten Terme bis zur Konvergenz der Energien stark unterschiedlich ausfallen kann. Häufig reduziert sich der numerische Aufwand unter Ausnutzung von [[Symmetriegruppe|Symmetrieeigenschaften]] erheblich. Dadurch kann nun mit relativ überschaubarem numerischem Aufwand die Bandstruktur realer Materialien ermittelt werden.
Die gebräuchlichsten drei Modelle sind:
 
* [[Modell der quasifreien Elektronen]] mit Fourierreihenansatz
* [[Tight-Binding-Methode]] mit Atomorbitalansatz
* [[k·p-Methode]] mit abstrakten, darstellungsunabhängigen Ansatz über die [[Gruppentheorie]] (genauer der [[Darstellungstheorie]])
 
== Bandstrukturen realer Festkörper ==
 
Bandstrukturen realer Kristalle können sehr komplex sein (Beispiel: [[Galliumarsenid|GaAs]]<ref>{{Internetquelle |url=https://materialsproject.org/materials/mp-2534?formula=GaAs#electronic_structure |titel=mp-2534: GaAs (Cubic, F-43m, 216) |werk=[[Materials Project]] |hrsg=[[Lawrence Berkeley National Laboratory]] |sprache=en |abruf=2023-01-22}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=J. S. Blakemore |Titel=Semiconducting and other major properties of gallium arsenide |Sammelwerk=Journal of Applied Physics |Band=53 |Nummer=10 |Datum=1982-10 |Sprache=en |ISSN=0021-8979 |DOI=10.1063/1.331665 |Seiten=R123–R181 |Online=http://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.331665 |Abruf=2023-01-26}}</ref> und AlAs<ref>{{Internetquelle |url=https://materialsproject.org/materials/mp-2172?formula=AlAs#electronic_structure |titel=mp-2172: AlAs (Cubic, F-43m, 216) |werk=[[Materials Project]] |hrsg=[[Lawrence Berkeley National Laboratory]] |sprache=en |abruf=2023-01-22}}</ref>). Üblicherweise stellt man die Dispersionsrelation in einem eindimensionalen Schema dar, wobei die Verbindungslinien zwischen verschiedenen charakteristischen Punkten der Brillouin-Zone einfach aneinander gehängt werden.
Bandstrukturen realer Kristalle können sehr komplex sein (Beispiel: [[Galliumarsenid|GaAs]] und AlAs<ref>[http://tbookdtd.sourceforge.net/datb-no-mathml/gaasband-web.png Bandstruktur von Gallium- und Aluminiumarsenid]</ref>).
Üblicherweise stellt man die Dispersionsrelation in einem eindimensionalen Schema dar, wobei die Verbindungslinien zwischen verschiedenen charakteristischen Punkten der Brillouin-Zone einfach aneinander gehängt werden.
 
In jedem realen Kristall gibt es im Energiebereich der Bandlücke zusätzliche [[Lokalisierung (Physik)|lokalisierte]] Zustände, die von Verunreinigungen, [[Gitterfehler]]n oder [[Oberflächenphysik|Oberflächeneffekten]] herrühren. Diese Zustände können systematisch erzeugt und für Anwendungen genutzt werden, z.&nbsp;B. beim [[Dotierung|Dotieren]] von [[Halbleiter]]n oder in [[Farbzentrum|Farbzentren]].
 
Diese Zustände können systematisch erzeugt und für Anwendungen genutzt werden, z.&nbsp;B. beim [[Dotierung|Dotieren]] von [[Halbleiter]]n oder in [[Farbzentrum|Farbzentren]].
== Materialdatenbanken ==
Weltweit existieren verschiedene Sammlungen an Materialdaten, die u. a. die Bandstruktur als Teil der „elektronische Struktur“ sammeln und für wissenschaftliche Zwecke anbieten.<ref>{{Literatur |Autor=M. K. Horton, S. Dwaraknath, K. A. Persson |Titel=Promises and perils of computational materials databases |Sammelwerk=Nature Computational Science |Band=1 |Nummer=1 |Datum=2021-01 |Sprache=en |ISSN=2662-8457 |DOI=10.1038/s43588-020-00016-5 |Seiten=3–5 |Online=https://www.nature.com/articles/s43588-020-00016-5 |Abruf=2023-01-22}}</ref> Einige Beispiele sind,
 
* [http://matprop.ru NSM Archive] (Ersatz-Link bei [http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/index.html Ioffe]),
* [http://nomad-lab.eu/prod/rae/encyclopedia/ NOMAD] ([[Novel Materials Discovery]] in Verbund mit der ''[[FAIR Data Infrastructure|FAIR-DI]]''),
* [[Materials Project]] (angeboten vom [[Lawrence Berkeley National Laboratory]]).<ref>{{Internetquelle |url=https://materialsproject.org/ |titel=Materials Project - Home |hrsg=[[Lawrence Berkeley National Laboratory]] |sprache=en |abruf=2023-01-22}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://docs.materialsproject.org/methodology/materials-methodology/electronic-structure#references |titel=Electronic Structure |werk=[[Materials Project]] |hrsg=xxx |sprache=en |abruf=2023-01-22}}</ref>
 
Für die Berechnung der Materialparameter wird z. B. das [[Dichtefunktionaltheorie (Quantenphysik)|DFT]]-Verfahren angewandt und gehört mittlerweile zum Standard im Bereich der [[Theoretische Chemie|Computergestützten Chemie]] oder Materialwissenschaften.<ref>{{Literatur |Autor=Zachary M. Gibbs, Francesco Ricci, Guodong Li, Hong Zhu, Kristin Persson, Gerbrand Ceder, Geoffroy Hautier, Anubhav Jain, G. Jeffrey Snyder |Titel=Effective mass and Fermi surface complexity factor from ab initio band structure calculations |Sammelwerk=npj Computational Materials |Band=3 |Nummer=1 |Datum=2017-02-23 |Sprache=en |ISSN=2057-3960 |DOI=10.1038/s41524-017-0013-3 |Seiten=1–7 |Online=https://www.nature.com/articles/s41524-017-0013-3 |Abruf=2023-01-22}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Richard M. Martin |Titel=Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods |Auflage=2 |Verlag=Cambridge University Press |Datum=2020-08-27 |Sprache=en |ISBN=978-1-108-55558-6 |DOI=10.1017/9781108555586 |Online=https://www.cambridge.org/core/product/identifier/9781108555586/type/book |Abruf=2023-01-22}}</ref> Einige bekannte Werkzeuge (auch kommerzielle), die die Bandstrukturen, [[Zustandsdichte]]n (DoS) usw. berechnen, sind: [[CASTEP]] ([[Mike Payne (Physiker)|Mike Payne]] & Kollegen),<ref>{{Internetquelle |url=http://www.castep.org/Prop/Prop |titel=Capabilities |werk=CASTEP |sprache=en |abruf=2023-01-22}}</ref> [[DFTB]]<ref>{{Internetquelle |url=https://dftbplus-recipes.readthedocs.io/en/latest/basics/bandstruct.html |titel=Band structure, DOS and PDOS — DFTB+ Recipes |werk=DFT+ |hrsg=DFTB+ developers group |datum=2022 |sprache=en |abruf=2023-01-22}}</ref> (vgl. [[Tight-Binding-Methode]]), [[Quantum Espresso|QE]] etc.
 
== Literatur ==
{{Siehe auch|Festkörperphysik|Halbleiter}}
* [[Charles Kittel|Ch. Kittel]]: ''Einführung in die Festkörperphysik''. 14. Auflage. R. Oldenbourg Verlag, München 2005, ISBN 3-486-57723-9.
* {{Literatur|Autor=Gerhard Fasching|Titel=Werkstoffe für die Elektrotechnik. Mikrophysik, Struktur, Eigenschaften|Verlag=Springer|Ort= Wien|ISBN=3-211-22133-6|Auflage=4.}}
* {{Literatur|Autor=Joseph Callaway|Titel=Quantum Theory of Solid State|Verlag=Academic Press|Ort= New York und London|ISBN=978-0121552015|Auflage=1.}}
 
== Weblinks ==
{{Commonscat|Direct and indirect bandgaps|Direkte und indirekte Bandübergänge}}
* {{Literatur |Autor=Andreas Wacker |Titel=An Introduction to the Concept of Band Structure |Datum=2018 |Sprache=en |Online=http://www.matfys.lth.se/staff/andreas.wacker/Scripts/bandstructure_intro.pdf}}
* [http://britneyspears.ac/physics/basics/basics.htm Anschauliche sowie ansprechende Erklärung zu Bandstrukturen und sonstigen Halbleitergrundlagen (englisch)]
* [http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw2_ge/index.html Ausführliche Erklärung zu Bandstrukturen und weiteren Grundlagen der Festkörperphysik (deutsch)]
 
== Einzelnachweise ==
<references />
 
{{Normdaten|TYP=s|GND=4143994-6}}
 
[[Kategorie:Festkörperphysik]]
[[Kategorie:Quantenphysik]]
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