„Minimalpolynom“ – Versionsunterschied

Unter einem '''Minimalpolynom''' versteht man im Allgemeinenallgemein ein [[Polynom]] minimalen Grades, das gerade noch eine Eigenschaft erfüllt, die von Faktoren kleineren Grades nicht mehr erfüllt wird. Genauer:Insbesondere Ingibt in verschiedenen [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebieten der Mathematik]] gibt das Minimalpolynom die minimale lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] bzw. einer [[lineare Abbildung|linearen Abbildung]] oder allgemeiner eines Elementes einer [[Algebra (Struktur)|Algebra]] an.

: <math>K[T]\to A,\quad a_0+a_1T+\cdots+a_dT^d\mapsto a_0+a_1x+\cdots+a_dx^d</math>,

des [[Einsetzungshomomorphismus]] von <math>x</math>, beschrieben werden, wobei <math>K[T]</math> der Ring der [[Polynom]]e mit Koeffizienten aus <math>K</math> ist.

In einer ''endlichdimensionalen'' Algebra besitzt jedes Element ein eindeutiges Minimalpolynom, in einer unendlichdimensionalen muss das nicht zutreffen. Dort nennt man die Elemente, die ein Minimalpolynom haben, [[algebraisches Element|algebraische Elemente]] über dem Grundkörper; Elemente, fürauf die das nicht zutrifft, heißen transzendente Elemente.

Das Minimalpolynom <math>p\mu</math> einer quadratischen <math>n\times n</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> ist das normierte [[Polynom]] kleinsten Grades mit Koeffizienten in <math>K</math>, so dass <math>p\mu_{A}\left(A\right)=00_{nn}</math> (die [[Nullmatrix]]) ist.

* <math>\lambda</math> ist Nullstelle von <math>p\mu
</math>, d.&nbsp;h. <math>p\mu\left(\lambda\right)=0</math>,

Die Vielfachheit einer Nullstelle <math>\lambda</math> von <math>p\mu</math> bestimmt die Länge der längsten [[Hauptvektor]]-Kette zum Eigenwert <math>\lambda</math>, d.&nbsp; h., beträgt die Vielfachheit z.&nbsp; B. 4, dann existiert eine Kette von vier zueinander linear unabhängigen Hauptvektoren (der Stufen 1 bis 4) zum Eigenwert <math>\lambda</math>. Falls noch weitere Hauptvektorketten zum Eigenwert <math>\lambda</math> existieren, die von dieser Kette der Länge 4 linear unabhängig sind, dann sind sie auf keinen Fall länger. Somit ist die Größe des größten zu <math>\lambda</math> gehörenden Jordanblocks der [[Jordansche Normalform|jordanschen Normalform]] von <math>A</math> identisch mit der Vielfachheit von <math>\lambda</math> im Minimalpolynom <math>p\mu</math>.

Unter der ''[[geometrische Vielfachheit|geometrischen Vielfachheit'']] des Eigenwerts <math>\lambda</math> von <math>A</math> versteht man dagegen die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert. Anders ausgedrückt: Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts <math>\lambda</math> der quadratischen Matrix <math>A</math> ist die Dimension des Lösungsraums von <math>\left(A-\lambda\cdot E\right)x=0 </math> mit der {{nowrap|<math>n\times n</math>-[[Einheitsmatrix]] <math>E </math> .}}

Etwas allgemeiner kann man (auch ohne Festlegung auf eine bestimmte [[Basis (Vektorraum)| Basis]]) zu einem [[Endomorphismus]] <math>F</math> eines Vektorraums <math>V</math> den Kern des Einsetzungshomomorphismus von <math>F</math> aus der Definition untersuchen, dies führt dann auch bei unendlichdimensionalen Vektorräumen zu einem Minimalpolynom, wenn dieser Kern nicht der Nullraum[[Nullvektorraum]] ist.

Ein einfaches Beispiel sind die [[Projektion (Mathematiklineare Algebra)|Projektionsabbildungen]] <math>P</math>, die nach ihrer Definitiondefinitionsgemäß idempotent sind, also die Relation <math>P^2-P=0</math> erfüllen. Jede Projektion hat also eines der Polynome <math>p\left(x\right)=x^2-x</math>, <math>p\left(x\right)=x</math> oder <math>p\left(x\right)=x-1</math> als Minimalpolynom.

Sei <math>L/K</math> eine Körpererweiterung, <math>K[X]</math> der Polynomring zu <math>K</math> mit der Unbestimmten <math>X</math> und sei <math>a\in L</math> algebraisch, das heißt, es existiert <math>0\neq p(X)\in K[X]</math> mit <math>p(a)=0</math>.

# <math>m(X)</math> ist normiert,

# <math>m(a)=0</math>,

# <math>m(X)</math> hat minimalen Grad, d.&nbsp;h., für jedes <math>\forall g(X)\in K[X]\setminus\{0\}</math> gilt <math>\deg(g)<\deg(m)\; \implies\; g(a)\neq 0</math>,

# <math>m(X)</math> ist eindeutig (durch <math>a</math> bestimmt), d.&nbsp;h., für jedes weitere <math>m^\ast(X)\in K[X]</math>, welches die Eigenschaften 1-31–3 erfüllt, gilt schon <math>m^\ast(X)=m(X)</math>.

* Jedes Polynom mit Koeffizienten im Grundkörper, das ein algebraisches Element <math>x</math> als Nullstelle hat, ist ein (Polynom-)Vielfaches des Minimalpolynoms von <math>x</math>.

* Der Grad des Minimalpolynoms von <math>x</math> ist gleich dem Grad der einfachen Erweiterung <math>K(x)/K</math>.

''Siehe auch:'' [[Zerfällungskörper]], [[Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Cayley-Hamilton]]

* Betrachte die Körpererweiterung <math>\Bbbmathbb Q(\mathrm{i})/\Bbbmathbb Q</math> mit der [[imaginäre Einheit|imaginären Einheit]] <math>\textstyle \mathrm{i}</math>:<br/>Das Minimalpolynom von <math>\textstyle \mathrm{i}</math> ist <math>\textstyle x^2+1</math>, denn es hat <math>\textstyle \mathrm{i}</math> als Nullstelle, ist normiert, und jedes Polynom kleineren Grades wäre linear und hätte nur eine Nullstelle in <math>\Bbbmathbb Q</math>.

* DasEs Polynomgibt keine Erweiterung, in der ein Element mit Minimalpolynom <math>\textstyle x^3+x</math> istexistiert: keinDas MinimalpolynomPolynom irgendeines Elementes<math>\textstyle irgendeinerx^3+x</math> Erweiterung, da eslässt sich als <math>(x^2+1)\cdot x</math> darstellen lässt und kann somit für keine seiner Nullstellen ein Polynom ''kleinsten Grades'' istsein.

* Minimalpolynome über <math>\Bbbmathbb Q</math> von <math>\sqrt{a}</math>, wobei <math>\sqrt{a}</math> irgendeineeine beliebige komplexe Quadratwurzel ist :<br /><math>\sqrt{a}</math> ist schon mal eine Nullstelle von <math>\textstyle X^2 - a</math>. Dieses Polynom ist aber irreduzibel über <math>\Bbbmathbb Q</math>, wenn <math>\sqrt{a} \notin \Bbbmathbb Q</math> und in diesem Fall das gesuchte Minimalpolynom.<br />WennFür den Fall <math>\sqrt{a} \in \Bbbmathbb Q</math>, dann ist das minimale PolynomMinimalpolynom <math>X - \sqrt{a}</math>.

* Minimalpolynome über <math>\Bbbmathbb Q</math> von <math>\xi_3 = exp(e^{(2\pi* \mathrm{i}) / 3)}</math>: Es giltWegen <math>\xi_3^3 = 1</math>. Also ist <math>\xi_3</math> Nullstelle von <math>X^3 - 1</math>. Dieses Polynom ist aber nicht irreduzibel, denn es hat die Faktorisierung <math>(X-1)(X^2+X+1)</math>.<br />Offensichtlich ist <math>\xi_3</math> keine Nullstelle von <math>X - 1</math>. Also muss <math>\xi_3</math> Nullstelle von <math>X^2+X+1</math> sein. Und dieses Polynom ist irreduzibel (z.&nbsp;B. durch Reduktion modulo 2), weshalb es sich dabei um das Minimalpolynom von <math>\xi_3</math> über <math>\mathbb Q</math> handeln muss.