„Prandtl-Zahl“ – Versionsunterschied
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{{Infobox Physikalische Kennzahl
| Name =
| Formelzeichen = <math>\mathit{Pr}</math>
| Dimension =
| Definition = <math>\mathit{Pr} = \frac{\nu}{a}</math>
| Größentabelle = <math>\nu</math> = [[kinematische Viskosität]]
| BenanntNach = [[Ludwig Prandtl]]
| Anwendungsbereich = Vergleich von [[Konvektion]] und [[Diffusion]]
}}
Die '''Prandtl-Zahl''' (<math>\mathit{Pr}</math>) ist eine nach [[Ludwig Prandtl]] benannte Kennzahl mit der [[
:<math> \mathit{Pr} = \frac{\nu}{a} = \frac {\nu \, \rho \, c_\mathrm p}{\lambda } = \frac{\eta\, c_\mathrm p}{\lambda} </math>
* <math>\eta</math> – [[dynamische Viskosität]] des [[Fluid]]s in kg·m<sup>−1</sup>·s<sup>−1</sup>
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* <math>c_\mathrm p</math> – [[spezifische Wärmekapazität]] in J·kg<sup>−1</sup>·K<sup>−1</sup> bei konstantem Druck.
Die Prandtl-Zahl stellt die Verknüpfung des Geschwindigkeitfeldes mit dem Temperaturfeld eines Fluids dar. Während die [[kinematische Viskosität]] <math>\nu</math> den Impulstransport infolge von Reibung repräsentiert, steht der [[Temperaturleitfähigkeit|Temperaturleitkoeffizient]] <math>a</math> für den (ggf. instationären) Wärmetransport infolge von Leitung. Da der Impulstransport durch das Geschwindigkeitsfeld, der Wärmetransport durch das Temperaturfeld bestimmt ist, verbindet die Prandtl-Zahl die beiden für den Wärmeübergang maßgebenden Felder. Die Prandtl-Zahl ist somit ein Maß für das Verhältnis der Dicken von [[fluiddynamische Grenzschicht|Strömungsgrenzschicht]] zu [[thermische Grenzschicht|Temperaturgrenzschicht]].<ref>
Die Prandtl-Zahl ist eine reine, im Allgemeinen temperatur- und druckabhängige [[Materialkonstante|Stoffgröße]] (Materialparameter) des Fluids: <math>\mathit{Pr} = \mathit{Pr}(T, p)</math>.
Zeile 24:
Das Analogon der Prandtl-Zahl in der Stoffübertragung ist die [[Schmidt-Zahl]] <math>\mathit{Sc}</math>. Das Verhältnis aus Schmidt- und Prandtl-Zahl ist die [[Lewis-Zahl]].
Für ein Modellgas aus einheitlichen, [[Modell harter Kugeln|harten Kugeln]] mit anziehender Dipolwechselwirkung (Hartkugelgas) ergibt sich unabhängig von der Temperatur der Wert
Für Gase und Dämpfe gilt für Drücke von 0,1 bis 10
:<math> \mathit{Pr} = \frac{4 \kappa}{9 \kappa - 5} </math>
wobei <math> \kappa </math> der [[Isentropenexponent]] ist.
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== Prandtl-Zahlen wichtiger Wärmeträgermedien ==
[[Datei:Diagramm Pr (T,p) Luft.png|mini|Prandtl-Zahl von Luft in Abhängigkeit von Temperatur und Druck]]
* '' [[Luft]]'': 0,7179 (0 °C, 1 bar abs); 0,7194 (500 °C, 1 bar abs)▼
* '' [[Wasserdampf]] '': 0,973 (100 °C); 0,869 (500 °C)▼
* '' [[Wasser]] '': 13,44 (0 °C); 11,16 (5 °C); 6,99 (20 °C); 4,34 (40 °C); 3,00 (60 °C); 2,20 (80 °C); 1,75 (100 °C)▼
* '' [[Natrium]] '': 0,0114 (100 °C); 0,00535 (350 °C)▼
Allgemein gilt:▼
|
* Die Prandtl-Zahlen von Flüssigkeiten nehmen mit steigender Temperatur ab. ▼
{| class="wikitable zebra"
* Flüssige Metalle haben sehr kleine Prandtl-Zahlen.▼
|+ Gase
! Material !! Prandtlzahl
Beispiele für die Prandtl-Zahlen von Flüssigkeiten:<ref>[http://webserver.dmt.upm.es/~isidoro/dat1/eLIQ.pdf Prandtl-Zahlen von Flüssigkeiten] (PDF; 248 kB)</ref>▼
▲{| class="wikitable"
| [[Quecksilber]] || 0,0232 ▼
|-
| [[Benzol]] || 7,488▼
|-
| [[Ethanol]] || 18,84▼
|}
|
{| class="wikitable zebra"
▲
! Material !! Prandtlzahl
|-
|Wasser
| [[Ethylenglycol]] || 184,6▼
▲
|-
▲
|-
▲| [[Quecksilber]] || {{0|0000}}0,0232
|-
▲| [[Benzol]] || {{0|0000}}7,488
|-
▲| [[Ethanol]] || {{0|000}}18,84
|-
▲| [[Ethylenglycol]] || {{0|00}}184,6
|-
| [[Glycerin]] || 11340
|}
|}
{{FNZ|Anm.1|Schmelzpunkt: 97,72 °C}}
▲Allgemein gilt:
▲* Flüssige Metalle haben sehr kleine Prandtl-Zahlen.
== Gebrauchsformeln für Luft und Wasser ==
Für Luft mit einem Druck von 1 bar können die Prandtl-Zahlen im Temperaturbereich zwischen −100 °C und +500 °C mit nachfolgend angegebener Formel berechnet werden<ref name="tec-science">{{Internetquelle |autor=tec-science |url=https://www.tec-science.com/de/mechanik/gase-und-fluessigkeiten/prandtl-zahl/ |titel=Prandtl-Zahl |werk=tec-science |datum=2020-05-09 |abruf=2020-06-25 |sprache=de-DE}}</ref>. Die Temperatur ist dabei in der Einheit Grad Celsius einzusetzen. Die Abweichungen betragen maximal 0,1 % zu den Literaturwerten.
:<math>Pr_\text{Luft} = \frac{10^9}{1{,}1 \cdot \vartheta^3 - 1200 \cdot \vartheta^2 + 322000 \cdot \vartheta + 1{,}393 \cdot 10^9}</math>
Die Prandtl-Zahlen für Wasser (1 bar) lassen sich im Temperaturbereich zwischen 0 °C und 90 °C mit nachfolgend angegebener Formel ermitteln<ref name="tec-science" />. Die Temperatur ist dabei in der Einheit Grad Celsius einzusetzen. Die Abweichungen betragen maximal 1 % zu den Literaturwerten.
:<math>Pr_\text{Wasser} = \frac{50000}{\vartheta^2 + 155\cdot \vartheta + 3700}</math>
== Prandtl-Zahl in turbulenten Strömungen ==
Bei
:<math>\nu_\text{total} = {\nu} + {\nu_\mathrm t}</math>
:<math>
Damit kann auch eine turbulente Prandtl-Zahl definiert werden:
:<math>\mathit{Pr_\mathrm t} = \frac{\nu_\mathrm t}{
Die turbulente Prandtl-Zahl ist nützlich zur Berechnung von turbulenten Grenzschichtströmungen mit Wärmeübertragung. Im simplen Modell der Reynolds-Analogie ist <math>{Pr_\mathrm t} = 1</math>. Experimentelle Daten für Luftströmungen führen zu einem genaueren Wert von 0
== Einzelnachweise ==
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