„Fortsetzung (Mathematik)“ – Versionsunterschied
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→Fortsetzungssatz von Tietze: Eine Folgerung des Fortsetzungssatzes von Tietze ist das Fortsetzungslemma. |
→Beispiele: Dichtheit genügt nicht zur Existenz einer stetigen Fortsetzung |
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* Die Funktion <math>g \colon \R \setminus \{0\} \to \R</math>, definiert durch <math>x \mapsto \tfrac{x}{x} + 5x</math>, ist stetig auf ihrem Definitionsbereich <math>\R \setminus \{0\}</math> und hat eine stetige Fortsetzung auf ganz <math>\R</math>, welche lautet
::<math>f(x) = \begin{cases}
\frac{x}{x} + 5x &\
1 &\
\end{cases}</math>
:Hier wird die Funktion auf einen weiteren Punkt fortgesetzt und man spricht in diesem speziellen Fall auch von einer [[Stetig behebbare Definitionslücke|stetig behebbaren Definitionslücke]].
* Die Funktion <math>g \colon \R \setminus \{0\} \to \R</math>, definiert durch <math>x \mapsto \tfrac{1}{x} \sin(x)</math>, ist stetig auf ihrem Definitionsbereich <math>\R \setminus \{0\}</math> und hat eine stetige Fortsetzung auf ganz <math>\R</math>. Denn gemäß der [[Regel von de
::<math>f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{x} \sin(x) &\
1 &\
\end{cases}</math>
:eine stetige Fortsetzung von <math>g</math>.
* Die Funktion <math>g \colon \R \setminus \{0\} \to \R</math>, definiert durch <math>x \mapsto \sin(\tfrac{1}{x})</math>, ist stetig auf ihrem Definitionsbereich <math>\R \setminus \{0\}</math>, besitzt jedoch anders als die vorgenannten Funktionen keine stetige Fortsetzung auf den gesamten Zahlenraum <math>\R</math>, da der Grenzwert <math>\textstyle \lim_{x \to 0} \sin(\tfrac{1}{x})</math> nicht existiert.
* Im mathematischen Bereich der [[Funktionalanalysis]] wird die [[Fourier-Transformation]] betrachtet. Dies ist eine Abbildung <math>\mathcal{F} \colon \mathcal{S} \to \mathcal{S}</math> auf dem [[Schwartz-Raum]].
=== Fortsetzungssatz von Tietze ===
Zeile 29:
Der Fortsetzungssatz von Tietze charakterisiert topologische Räume, in denen stetige Funktionen auf [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Teilmengen]] immer stetig fortgesetzt werden können. Es sind genau die [[normaler Raum|normalen topologischen Räume]], in denen das immer möglich ist. Der Satz kann als Verallgemeinerung des [[Lemma von Urysohn|Lemmas von Urysohn]] verstanden werden. Eine Folgerung des Fortsetzungssatzes von Tietze ist das [[Fortsetzungslemma]].
=== Lipschitz-stetige Funktionen ===
Stetige Abbildungen <math>U\rightarrow \R^m</math>, wobei <math>U\subset \R^n</math>, können die stärkere Eigenschaft der [[Lipschitz-Stetigkeit]] haben. Daher stellt sich die Frage, ob man die stetigen Fortsetzungen auch so wählen kann, dass die Lipschitz-Stetigkeit erhalten bleibt. Der [[Satz von Kirszbraun]] sagt aus, dass dies sogar mit Erhaltung der [[Lipschitz-Konstante]]n möglich ist. Das [[Lemma von McShane]] dehnt diese Aussage auf allgemeinere Raumklassen aus.
== Periodische Fortsetzung ==
{{Hauptartikel|Periodische Fortsetzung}}
Eine andere Möglichkeit eine Funktion systematisch fortzusetzen ist die periodische Fortsetzung. Dabei wird eine auf einem beschränkten Intervall definierte Funktion so fortgesetzt, dass sich ihre Funktionswerte außerhalb des Ausgangsintervalls mit festem Abstand zyklisch wiederholen. Eine solche Funktion wird [[Periodische Funktion|periodisch]] genannt.
== Einschränkung ==
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