„Fortsetzung (Mathematik)“ – Versionsunterschied

Seien <math>X</math> und <math>Y</math> [[Topologischer Raum|topologische Räume]], <math>A \subset X</math> ein [[Unterraumtopologie|Teilraum]] von <math>X</math> und <math>g \colon A \to Y</math> eine [[StetigkeitStetige (Topologie)Funktion|stetige Abbildung]]. Eine Abbildung <math>f \colon X \to Y</math> heißt, analog zu obiger Definition, stetige Fortsetzung von <math>g</math>, falls <math>f</math> stetig ist und <math>g(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in A</math> gilt.<ref>{{Literatur | Autor = Dušan Repovš, Pavel Vladimirovič Semenov | Titel = Continuous selections of multivalued mappings |Sammelwerk= Mathematics and its Applications| Band= Bd. 455 | Jahr = 1998 | Verlag = Kluwer Academic | Ort = Dordrecht u. a. | ISBN = 0-7923-5277-7 | Seiten = 23–24}}</ref>

* Die Funktion <math>g \colon \R \setminus \{0\} \to \R</math>, definiert durch <math>x \mapsto \tfrac{x}{x} + 5x</math>, ist stetig auf ihrem Definitionsbereich <math>\R \setminus \{0\}</math> und hat eine stetige Fortsetzung auf ganz <math>\R</math>, welche lautet

\frac{x}{x} + 5x &\textmathrm{fürf\ddot ur}\ x \in \R \setminus \{0\},\\

1 &\textmathrm{fürf\ddot ur}\ x = 0\,.

:Hier wurdewird die Funktion auf einen weiteren Punkt fortgesetzt. Manund man spricht in diesem speziellen Fall auch von einer [[Stetig behebbare Definitionslücke|stetig behebbaren Definitionslücke]].

\frac{1}{x} \sin(x) &\textmathrm{fürf\ddot ur}\ x \in \R \setminus \{0\},\\

1 &\textmathrm{fürf\ddot ur}\ x = 0\,

* Die Funktion <math>g \colon \R \setminus \{0\} \to \R</math>, definiert durch <math>x \mapsto \sin(\tfrac{1}{x})</math>, ist stetig auf ihrem Definitionsbereich <math>\R \setminus \{0\}</math>, besitzt jedoch anders als die vorgenannten Funktionen keine stetige Fortsetzung auf ganzden gesamten Zahlenraum <math>\R</math>, dennda der Grenzwert <math>\textstyle \lim_{x \to 0} \sin(\tfrac{1}{x})</math> existiert nicht existiert.

* Im mathematischen Bereich der [[Funktionalanalysis]] wird die [[Fourier-Transformation]] betrachtet. Dies ist eine Abbildung <math>\mathcal{F} \colon \mathcal{S} \to \mathcal{S}</math> auf dem [[Schwartz-Raum]]. Da derDer Schwartz-Raum liegt [[Dichte Teilmenge|dicht]] im Raum der [[Quadratintegrierbare Funktion|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> liegt, kannund die Fourier-Transformation kann eindeutig stetig auf <math>L^2</math> fortgesetzt werden. Jedoch hat sie auf diesem Raum nicht mehr die übliche Integraldarstellung, die sie auf dem Schwartz-Raum hat.

Der Fortsetzungssatz von Tietze charakterisiert topologische Räume, in denen stetige Funktionen auf [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Teilmengen]] immer stetig fortgesetzt werden können. Es sind genau die [[normaler Raum|normalen topologischen Räume]], in denen das immer möglich ist. Der Satz kann als Verallgemeinerung des [[Lemma von Urysohn|Lemmas von Urysohn]] verstanden werden. Eine Folgerung des Fortsetzungssatzes von Tietze ist das [[Fortsetzungslemma]].