„Fortsetzung (Mathematik)“ – Versionsunterschied
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== Definition ==
Seien <math>X,\, Y</math> und <math>A</math> [[Menge (Mathematik)|Mengen]]. Eine Abbildung <math>f \colon X \to Y</math> heißt Fortsetzung der Abbildung <math>g \colon A \to Y</math> genau dann, wenn <math>A</math> eine Teilmenge von <math>X</math> ist und
<math>g(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in A</math> gilt.<ref>
== Stetige Fortsetzung ==
=== Definition ===
Seien <math>X</math> und <math>Y</math> [[Topologischer Raum|topologische Räume]], <math>A \subset X</math> ein [[Unterraumtopologie|Teilraum]] von <math>X</math> und <math>g \colon A \to Y</math> eine [[
=== Beispiele ===
* Die Funktion <math>g \colon \R \setminus \{0\} \to \R</math>, definiert durch <math>x \mapsto \tfrac{x}{x} + 5x</math>, ist stetig auf ihrem Definitionsbereich <math>\R \setminus \{0\}</math> und hat eine stetige Fortsetzung auf ganz <math>\R</math>, welche lautet
::<math>f(x) = \begin{cases}
\frac{x}{x} + 5x &\
1 &\
\end{cases}</math>
:Hier
* Die Funktion <math>g \colon \R \setminus \{0\} \to \R</math>, definiert durch <math>x \mapsto \tfrac{1}{x} \sin(x)</math>, ist stetig auf ihrem Definitionsbereich <math>\R \setminus \{0\}</math> und hat eine stetige Fortsetzung auf ganz <math>\R</math>. Denn gemäß der [[Regel von de L’Hospital]] gilt <math>\textstyle \lim_{x \to 0} \tfrac{1}{x} \sin(x) = 1</math>, und damit ist
::<math>f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{x} \sin(x) &\
1 &\
\end{cases}</math>
:eine stetige Fortsetzung von <math>g</math>.
* Die Funktion <math>g \colon \R \setminus \{0\} \to \R</math>, definiert durch <math>x \mapsto \sin(\
* Im mathematischen Bereich der [[Funktionalanalysis]] wird die [[Fourier-Transformation]] betrachtet. Dies ist eine Abbildung <math>\mathcal{F} \colon \mathcal{S} \to \mathcal{S}</math> auf dem [[Schwartz-Raum]].
=== Fortsetzungssatz von Tietze ===
{{Hauptartikel|Fortsetzungssatz von Tietze}}
Der Fortsetzungssatz von Tietze charakterisiert topologische Räume, in denen stetige Funktionen auf [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Teilmengen]] immer stetig fortgesetzt werden können. Es sind genau die [[normaler Raum|normalen topologischen Räume]], in denen das immer möglich ist. Der Satz kann als Verallgemeinerung des [[Lemma von Urysohn|Lemmas von Urysohn]] verstanden werden. Eine Folgerung des Fortsetzungssatzes von Tietze ist das [[Fortsetzungslemma]].
=== Lipschitz-stetige Funktionen ===
Stetige Abbildungen <math>U\rightarrow \R^m</math>, wobei <math>U\subset \R^n</math>, können die stärkere Eigenschaft der [[Lipschitz-Stetigkeit]] haben. Daher stellt sich die Frage, ob man die stetigen Fortsetzungen auch so wählen kann, dass die Lipschitz-Stetigkeit erhalten bleibt. Der [[Satz von Kirszbraun]] sagt aus, dass dies sogar mit Erhaltung der [[Lipschitz-Konstante]]n möglich ist. Das [[Lemma von McShane]] dehnt diese Aussage auf allgemeinere Raumklassen aus.
== Periodische Fortsetzung ==
{{Hauptartikel|Periodische Fortsetzung}}
Eine andere Möglichkeit eine Funktion systematisch fortzusetzen ist die periodische Fortsetzung. Dabei wird eine auf einem beschränkten Intervall definierte Funktion so fortgesetzt, dass sich ihre Funktionswerte außerhalb des Ausgangsintervalls mit festem Abstand zyklisch wiederholen. Eine solche Funktion wird [[Periodische Funktion|periodisch]] genannt.
== Einschränkung ==
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