Spring til indhold

Eksponentiel udvikling: Forskelle mellem versioner

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Indhold slettet Indhold tilføjet
Jone (diskussion | bidrag)
m medicinsk
m Gendannelse til seneste version ved Hjart, fjerner ændringer fra 85.81.40.232 (diskussion | bidrag)
Tag: Tilbagerulning
 
(40 mellemliggende versioner af 34 andre brugere ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
{{Sammenskrives
==Eksponentiel udvikling kort fortalt==
|Eksponentiel vækst
En '''eksponentiel udvikling''' er en slags [[Matematik|matematisk]] model, som kan bruges til beskrive forskellige sammenhænge; typisk hvordan bestemte ting forandrer sig med tiden: Specielt for eksponentielle udviklinger gælder, at <em>målt hen over lige store tidsintervaller stiger eller falder den (tids-)afhængige variabel med lige store forholdstal</em>.<br>
|Eksponentiel ligning
Her er nogle eksempler på fænomener der følger (eller kan følge) en eksponentiel udvikling:
|Eksponentiel udvikling
* "Renters rente" er et klassisk eksempel på en eksponentiel udvikling: Placerer man én gang for alle nogle penge et sted hvor man kan forvente en konstant [[rente]], vil saldoen som følge af renterne være eksponentielt voksende.
|destination = Eksponentiel udvikling
* Hvis [[fødselsrate]]n i en befolkning ligger højere eller lavere end hvad der er nødvendigt for at opretholde et konstant befolkningstal, vil befolkningstallet (til at begynde med) følge en eksponentielt voksende eller aftagende udvikling.
|forslag = Eksponentiel udvikling
* Strålingen fra en prøve af et [[Radioaktivitet|radioaktivt]] stof (som henfalder til en stabil isotop) vil aftage eksponentielt over tid. Hvor hurtigt strålingen aftager, beskrives ofte ved den såkaldte [[halveringstid]].
|begrund = De handler om det samme. Evt. kunne det rent matematiske være under [[Eksponentialfunktion]].
|dato=maj 2019}}
En '''eksponentiel udvikling''' er en [[Matematik|matematisk]] model, som kan bruges til at beskrive forskellige sammenhænge; typisk hvordan bestemte ting forandrer sig med tiden: Specielt for eksponentielle udviklinger gælder, at <em>målt hen over lige store tidsintervaller stiger eller falder den (tids-)afhængige variabel med lige store forholdstal</em>.<br>
Her er nogle eksempler på fænomener, der følger (eller kan følge) en eksponentiel udvikling:
* [[Renters rente]] er et klassisk eksempel på en eksponentiel udvikling: Placerer man én gang for alle nogle penge et sted, hvor man kan forvente en konstant [[rente]], vil saldoen som følge af renterne være eksponentielt voksende.
* Hvis [[fødselsrate]]n i en befolkning ligger højere eller lavere end, hvad der er nødvendigt for at opretholde et konstant befolkningstal, vil befolkningstallet (til at begynde med) følge en eksponentielt voksende eller aftagende udvikling.
* Strålingen fra en prøve af et [[Radioaktivitet|radioaktivt]] stof (som henfalder til en stabil isotop) vil aftage eksponentielt over tid. Hvor hurtigt strålingen aftager til det halve, beskrives ofte ved den såkaldte [[halveringstid]].
* Temperaturforskellen mellem f.eks. en varm småkage og den konstante stuetemperatur omkring den aftager eksponentielt med tiden.
* Temperaturforskellen mellem f.eks. en varm småkage og den konstante stuetemperatur omkring den aftager eksponentielt med tiden.
*Udskillelsen af lægemidler følger ofte en eksponentialfunktion, således at man også her taler om halveringstid. Se [[farmakokinetik]].
*Udskillelsen af lægemidler følger ofte en eksponentialfunktion, således at man også her taler om halveringstid. Se [[farmakokinetik]].


==Matematikken i en eksponentiel udvikling==
==Matematikken i en eksponentiel udvikling==
[[Billede:Eksponentiel.png|thumb|Eksponentielt voksende (blå) og aftagende (rød) udvikling]]
Matematisk set beskrives den eksponentielle udvikling således:<br>
Matematisk set beskrives den eksponentielle udvikling, som funktion, således:
''y'' = ''b'' &middot; ''a<sup>x</sup>''<br>
:<math> f(x) = b \cdot a^x </math>
hvor
hvor <math> a > 0 </math>, <math> b > 0 </math>, <math> a \neq 1 </math>, <math> Dm(f)=\mathbb{R} </math> og <math> Vm(f)=\mathbb{R}_{+} </math>.
* ''x'' er den uafhængige variabel (som regel målt i tid).
* ''y'' er den afhængige variabel.
* <math>x</math> er den [[uafhængige variabel]] (som regel målt i tid).
* <math>y</math> er den [[afhængige variabel]].
* ''a'' er det forholdstal som ''y'' ændrer sig med, når ''x'' stiger eller falder med 1: Hvis ''a'' < 1 er ''y'' eksponentielt aftagende, hvis ''a'' > 1 er den eksponentielt voksende, og hvis ''a'' = 1 er ''y'' konstant.
* ''a,'' fremskrivningsfaktoren, er det [[forholdstal]] som <math>y</math> ændrer sig med, når <math>x</math> stiger eller falder med 1: Hvis <math>a</math> 0 < a < 1 er <math>y</math> eksponentielt [[Funktion_(matematik)#Monotoni|aftagende]], hvis <math>a>1</math> er den eksponentielt [[Funktion_(matematik)#Monotoni|voksende]], da a er afhængig af vækstraten, r, som følgende: <math> a=1+r </math>.
* ''b'' er den størrelse ''y'' har når ''x'' er lig med nul.
* <math>b</math> er den størrelse <math>y</math> har når <math>x</math> er lig med nul. Bemærk desuden at der i tilfældet <math>b = 1</math> er tale om den mere simple [[eksponentialfunktion]].
En eksponentiel udvikling kan beskrives ved de to tal ''a'' og ''b'': Givet disse tal kan man med ovenstående regneudtryk svare på spørgsmål om hvor stor den undersøgte størrelse ''y'' var eller vil være til et givent tidspunkt ''x''. Med lidt omregning kan man tilsvarende bestemme hvornår ''y'' når eller nåede en bestemt værdi.<br>
* Dm(f) er funktionens definitionsmængde, reelle tal.
Givet to sammenhørende par af ''x'' og ''y'' (f.eks. oplysninger om et eksponentielt voksende indbyggertal to givne, forskellige år) kan man bestemme værdierne af ''a'' og ''b'', og derefter bruge formlen til at fremsætte prognoser som beskrevet ovenfor.
* Vm(f) er funktionens værdimængde, positive reelle tal.


En eksponentiel udvikling kan beskrives ved de to tal <math>a</math> og <math>b</math>: Givet disse tal kan man med ovenstående regneudtryk svare på spørgsmål om, hvor stor den undersøgte størrelse <math>y</math> var eller vil være til et givent tidspunkt <math>x</math>. Med lidt omregning kan man tilsvarende bestemme, hvornår <math>y</math> når eller nåede en bestemt værdi.<br>
Størrelsen af ''a'' er somme tider givet indirekte i form af et (for voksende eksponentielle udviklinger) fordoblings- eller (for aftagende udviklinger) halveringstal (eller -konstant): Dette er et udtryk for hvor stor ændring i den uafhængige variabel ''x'' der "skal til" for at få fordoblet hhv. halveret den afhængige variabel ''y''.
Givet to sammenhørende par af <math>x</math> og <math>y</math> (f.eks. oplysninger om et eksponentielt voksende indbyggertal to givne, forskellige år) kan man bestemme værdierne af <math>a</math> og <math>b</math> og derefter bruge formlen til at fremsætte prognoser som beskrevet ovenfor.
Hvis fordoblingstallet eller fordoblingstiden kaldes for T, gælder:<br>

<math>a = 2^{\frac{1}{T}} \Leftrightarrow T=\frac{\ln 2}{\ln a}</math><br>
Størrelsen af <math>a</math> er somme tider givet indirekte i form af et (for voksende eksponentielle udviklinger) fordoblings- eller (for aftagende udviklinger) halveringstal (eller -konstant): Dette er et udtryk for, hvor stor ændring i den uafhængige variabel <math>x</math> der "skal til" for at få fordoblet hhv. halveret den afhængige variabel <math>y</math>.
Hvis fordoblingstallet eller [[Fordoblingstid|fordoblingstiden]] kaldes for <math>T_2</math>, gælder:<br>
<math>a = 2^{\frac{1}{T_2}} \Leftrightarrow T_2=\frac{\ln 2}{\ln a}</math><br>
Udtrykt ved halveringstallet eller halveringstiden t gælder:<br>
Udtrykt ved halveringstallet eller halveringstiden t gælder:<br>
<math>a = \left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{t}} \Leftrightarrow t=\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln a}</math><br>
<math>a = \left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{T_{1/2}}} \Leftrightarrow T_{1/2}=\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln a}</math>

Hvis man vil isolere x i ligningen for eksponentiel udvikling, vil den komme til at se sådan ud:

<math>x = \frac{\ln(\frac {y}{b})}{\ln(a)}</math>


[[Kategori:Matematik]]
[[Kategori:Logaritme]]
[[Kategori:Renteformer]]

Nuværende version fra 5. dec. 2022, 20:14

Sammenskrivningsforslag
Artiklerne Eksponentiel vækst, Eksponentiel ligning, Eksponentiel udvikling er foreslået føjet ind i Eksponentiel udvikling. (Siden maj 2019)  Diskutér forslaget
Kort begrundelse:  De handler om det samme. Evt. kunne det rent matematiske være under Eksponentialfunktion.

En eksponentiel udvikling er en matematisk model, som kan bruges til at beskrive forskellige sammenhænge; typisk hvordan bestemte ting forandrer sig med tiden: Specielt for eksponentielle udviklinger gælder, at målt hen over lige store tidsintervaller stiger eller falder den (tids-)afhængige variabel med lige store forholdstal.
Her er nogle eksempler på fænomener, der følger (eller kan følge) en eksponentiel udvikling:

  • Renters rente er et klassisk eksempel på en eksponentiel udvikling: Placerer man én gang for alle nogle penge et sted, hvor man kan forvente en konstant rente, vil saldoen som følge af renterne være eksponentielt voksende.
  • Hvis fødselsraten i en befolkning ligger højere eller lavere end, hvad der er nødvendigt for at opretholde et konstant befolkningstal, vil befolkningstallet (til at begynde med) følge en eksponentielt voksende eller aftagende udvikling.
  • Strålingen fra en prøve af et radioaktivt stof (som henfalder til en stabil isotop) vil aftage eksponentielt over tid. Hvor hurtigt strålingen aftager til det halve, beskrives ofte ved den såkaldte halveringstid.
  • Temperaturforskellen mellem f.eks. en varm småkage og den konstante stuetemperatur omkring den aftager eksponentielt med tiden.
  • Udskillelsen af lægemidler følger ofte en eksponentialfunktion, således at man også her taler om halveringstid. Se farmakokinetik.

Matematikken i en eksponentiel udvikling

[redigér | rediger kildetekst]
Eksponentielt voksende (blå) og aftagende (rød) udvikling

Matematisk set beskrives den eksponentielle udvikling, som funktion, således:

hvor , , , og .

  • er den uafhængige variabel (som regel målt i tid).
  • er den afhængige variabel.
  • a, fremskrivningsfaktoren, er det forholdstal som ændrer sig med, når stiger eller falder med 1: Hvis 0 < a < 1 er eksponentielt aftagende, hvis er den eksponentielt voksende, da a er afhængig af vækstraten, r, som følgende: .
  • er den størrelse har når er lig med nul. Bemærk desuden at der i tilfældet er tale om den mere simple eksponentialfunktion.
  • Dm(f) er funktionens definitionsmængde, reelle tal.
  • Vm(f) er funktionens værdimængde, positive reelle tal.

En eksponentiel udvikling kan beskrives ved de to tal og : Givet disse tal kan man med ovenstående regneudtryk svare på spørgsmål om, hvor stor den undersøgte størrelse var eller vil være til et givent tidspunkt . Med lidt omregning kan man tilsvarende bestemme, hvornår når eller nåede en bestemt værdi.
Givet to sammenhørende par af og (f.eks. oplysninger om et eksponentielt voksende indbyggertal to givne, forskellige år) kan man bestemme værdierne af og og derefter bruge formlen til at fremsætte prognoser som beskrevet ovenfor.

Størrelsen af er somme tider givet indirekte i form af et (for voksende eksponentielle udviklinger) fordoblings- eller (for aftagende udviklinger) halveringstal (eller -konstant): Dette er et udtryk for, hvor stor ændring i den uafhængige variabel der "skal til" for at få fordoblet hhv. halveret den afhængige variabel . Hvis fordoblingstallet eller fordoblingstiden kaldes for , gælder:

Udtrykt ved halveringstallet eller halveringstiden t gælder:

Hvis man vil isolere x i ligningen for eksponentiel udvikling, vil den komme til at se sådan ud: