Osmiúhelník

pravidelný osmiúhelník

Osmiúhelník je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník s osmi vrcholy a osmi stranami.

Součet velikostí vnitřních úhlů konvexního osmiúhelníku je 1080° (6π).

Pravidelný osmiúhelník

Na pravidelný osmiúhelník lze například nahlížet jako by byl složen z osmi shodných rovnoramenných trojúhelníků, jejichž úhly při základně mají velikost ${\frac {3\pi }{8}}$ a při vrcholu ${\frac {\pi }{4}}$. Jde tedy o příklad středové souměrnosti.

Parametry

Pro pravidelný osmiúhelník lze definovat tyto pojmy:

• střed symetrie osmiúhelníku: S
• vrcholy, po obvodu: V₁ .. V₈
• délka strany: a jako přímá vzdálenost dvou sousedních vrcholů
• středy stran, po obvodu: A₁ .. A₈

Pravidelný osmiúhelník lze rozdělit

• na 8 stejných rovnoramenných trojúhelníků T o stranách R-R-a, mezi body V_nSV_n+1,
  • jeho vrcholový úhel u bodu S je z definice právě osmina kruhu, tedy $\pi /4$ = 45°.
• nebo na 16 stejných pravoúhlých trojúhelníků t o stranách R-r-a/2, mezi body A_nSV_n,
  • se středovým úhlem $\pi /8$ = 22,5°.

Tím je určena vazba na Pythagorovu větu:

$R={\sqrt {r^{2}+(a/2)^{2}}}$.

Navíc s vědomostí, že i goniometrické výrazy úhlu lze vyjádřit přesně:

$cotg(22,5^{\circ })=1+{\sqrt {2}}$.

Obsah pravidelného osmiúhelníku (v obrázku označený A) může být určen ořezáním čtverce (v obrázku jeho celková strana označena S).

Pro pravidelný osmiúhelník pak lze určit poloměr

• kružnice opsané R, který je definován délkou úsečky SV od středu k vrcholu:

$a=2R\cdot sin(22,5^{\circ })$.

• • tedy minimální ještě vnější průměr D, přibližně:

D≈2,61·a.

• kružnice vepsané r, který je definován délkou úsečky SA od středu ke straně, tedy jako výška trojúhelníka T, po jeho symetrále:

$r=a/2\cdot cotg(22,5^{\circ })=a/2\cdot (1+{\sqrt {2}})$ nebo inverzně $a/2=r\cdot tg(22,5^{\circ })=r/(1+{\sqrt {2}})$.

• • tedy maximální ještě vnitřní průměr d, přibližně:

d≈2,41·a.

Pro pravidelný osmiúhelník pak lze určit vlastnosti

• obvod: $o=8\cdot a$.
• obsah:
  • pomocí trojúhelníků z polárního dělení:

$S=4ar={\frac {8r^{2}}{(1+{\sqrt {2}})}}$.

• • oříznutím z úplného čtverce:

$S=4r^{2}-a^{2}=(a{\sqrt {2}}+a+a{\sqrt {2}})^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}$.

Konstrukce osmiúhelníku

Konstrukce pravidelného osmiúhelníku pomocí kružítka a pravítka v 18 krocích:

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu osmiúhelník na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo osmiúhelník ve Wikislovníku

Portály: Matematika