Funktor

Funktor je pojem z matematiky, konkrétněji z teorie kategorií. Jde o zobecnění pojmu zobrazení. Funktor přiřazuje objektům nějaké kategorie objekty jiné kategorie a morfizmům kategorie morfizmy jiné kategorie.

Definice

Kategorie s objekty X, Y, Z a morfismy f, g, g ∘ f

Funktor $F$ musí zachovávat skládání morfismů $g$ a $f$

Pro kategorie C a D je funktor F z C do D zobrazení, které

• přiřadí každému objektu $X\in C$ objekt $F(X)\in D$,
• přiřadí každému morfizmu $f:X\rightarrow Y\in C$ morfizmus $F(f):F(X)\rightarrow F(Y)\in D$, tak, že je splněno
  • $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}$ pro každý objekt $X\in C$
  • $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ pro všechny morfizmy $f:X\rightarrow Y$ a $g:Y\rightarrow Z$.

Tj. funktory musí zachovávat identické morfismy a skládání morfismů.

Kovariantní a kontravariantní funktor

V matematice existuje mnoho konstrukcí, které by byly funktory, až na to, že „otáčejí morfismy“ a „obracejí skládání“. Proto definujeme kontravariantní funktor F z C do D jako zobrazení, které

• přiřadí každému objektu $X\in C$ objekt $F(X)\in D$,
• přiřazuje každému morfismus $f\colon X\to Y\in C$ morfismus $F(f)\colon F(Y)\to F(X)\in D$ takový, že platí následující dvě podmínky:
  • $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ pro každý objekt $X\in C$,
  • $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ pro všechny morfismy $f\colon X\to Y$ a $g\colon Y\to Z\in C$.

Variance funktoru (složené)

• Složení dvou funktorů stejné variance:
  • $\mathrm {Covariant} \circ \mathrm {Covariant} \to \mathrm {Covariant}$
  • $\mathrm {Contravariant} \circ \mathrm {Contravariant} \to \mathrm {Covariant}$
• Složení dvou funktorů opačné variance:
  • $\mathrm {Covariant} \circ \mathrm {Contravariant} \to \mathrm {Contravariant}$

Všimněte si, že kontravariantní funktory obracejí směr skládání.

Obyčejné funktory se také nazývají kovariantní funktory pro rozlišení od kontravariantních funktorů. Všimněte si, že je možné definovat kontravariantní funktor jako kovariantní funktor na opačné kategorii $C^{\mathrm {op} }$. Někteří autoři preferují psaní všech výrazů kovariantně. To znamená, že neříkají, že $F\colon C\to D$ je kontravariantní funktor, ale píší $F\colon C^{\mathrm {op} }\to D$ (nebo někdy $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$) a nazývají $F$ funktorem.

Kontravariantní funktory se někdy také nazývají kofunktory.

Výše uvedená definice je definice kovariantního funktoru. Kontravariantní funktor je takové zobrazení F, které morfizmu $f:X\to Y$ kategorie C přiřadí morfizmus $F(f):F(Y)\to F(X)$ v kategorii D a platí $F(f\circ g)=F(g)\circ F(f)$.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Functor na anglické Wikipedii.

Literatura

• JACOBSON, Nathan, 2009. Basic algebra. 2. vyd. [s.l.]: Dover. ISBN 978-0-486-47187-7. .
• SIMMONS, Harold, 2011. An Introduction to Category Theory. [s.l.]: [s.n.]. Dostupné online. ISBN 978-1-107-01087-1. DOI 10.1017/CBO9780511863226.004. Kapitola Functors and natural transformations, s. 72–107. 

Související články

• Anafunktor
• Profunktor
• Kategorie funktorů
• Kanovo rozšíření
• Pseudofunktor

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu funktor na Wikimedia Commons
• Functor [online]. Springer [cit. 2024-09-25]. Dostupné online. p/f042140. 
• nLab [cit. 2024-09-25]. Dostupné online. 
• André Joyal, CatLab, Wiki projekt pro prezentaci teorie kategorií
• HILLMAN, Chris, 2001. A Categorical Primer [online]. 2001. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 1997-05-03. 
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats Archivní kopie na Internet Archive.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: “Category Theory“ — autor Jean-Pierre Marquis. Rozsáhlá bibliografie.
• List of academic conferences on category theory
• Baez, John, 1996,“The Tale of n-categories.“ Neformální úvod do kategorií vyššího řádu.
• WildCats je balíček pro systém Mathematica věnovaný teorii kategorií. Manipulace a vizualizace objektů, morfismy, kategorie, funktory, přirozené transformace, univerzální vlastnosti.
• The catsters, YouTube kanál o teorii kategorií.
• Video archive zaznamenáno hovorů o kategoriích, logice a základech fyziky.
• Interaktivní stránka, která generuje příklady kategorické konstrukce v kategorii konečných množin.

Autoritní data	PSH: 7364