Sférická soustava souřadnic

Sférická soustava souřadnic (kulová soustava souřadnic) je soustava křivočarých souřadnic v prostoru, v níž jedna souřadnice (označovaná $r$) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná $\varphi$) udává úhel odklonu průvodiče bodu od osy $x$ a třetí souřadnice (označovaná $\theta$) úhel mezi průvodičem a osou $z$.

Sférické souřadnice se s mírnou obměnou užívají např. v zeměpisu jako zeměpisné souřadnice.

Sférická soustava souřadnic je obecně vhodná v problémech, které mají sférickou symetrii. Tyto mají zpravidla ve sférických souřadnicích podstatně jednodušší tvar.

Bod ve sférické soustavě souřadnic.

Transformace sférických souřadnic na kartézské:

$x=r\sin {\theta }\cos {\varphi }$

$y=r\sin {\theta }\sin {\varphi }$

$z=r\cos {\theta }\,$

Převod kartézských souřadnic na sférické:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$

$\varphi =\operatorname {arctg2} (y,x),$

$\theta =\arccos \left({\frac {z}{r}}\right),$

kde arctg2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens. Úhly volíme v rozsahu $0\leq \theta \leq \pi$ a $0\leq \varphi <2\pi$.

Jakobián transformace z kartézské do sférické soustavy souřadnic :

$J=r^{2}\sin \theta$

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \varphi ^{2}.$

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

$\mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta ,$

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes dané těleso vyjádřené ve sférických souřadnicích.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu sférická soustava souřadnic na Wikimedia Commons
• Kniha Geometrie/Soustavy souřadnic/Sférická soustava souřadnic ve Wikiknihách

Autoritní data	PSH: 327 GND: 7521117-8