Prostor s mírou

Prostor s mírou je neprázdná množina, ve které chceme měřit délky, obsahy, objemy, případně kvantity, s mírou, jakožto funkcí, která jejím podmnožinám přiřazuje jejich „velikost“. Prostory s mírou jsou základním předmětem zájmu teorie míry, což je odvětví matematiky, které se zabývá zobecněním pojmu objemu.

Na teorii míry je vystavěna moderní teorie integrálu a využívá ji i jeden ze dvou hlavních přístupů k teorii pravděpodobnosti vycházející z pojmu pravděpodobnostní prostor, což je prostor s mírou, která výsledkům náhodného pokusu přiřazuje jejich pravděpodobnosti.

Požadavek na měřitelnost všech podmnožin libovolné množiny $X$ může vést k Banachově-Tarského paradoxu, proto se používá složitější definice, v níž není vyžadováno, aby všechny podmnožiny $X$ byly měřitelné. Podle této definice je prostor s mírou tvořen třemi složkami:

• množinou $X$, jejíž části chceme měřit,
• souborem všech měřitelných podmnožin množiny $X$,
• funkcí přiřazující každé měřitelné množině její „velikost“ – nějakou nezápornou hodnotu, která může být i nekonečná.

Definice

Prostor s mírou je uspořádaná trojice $(X,{\mathcal {A}},\mu )$, kde

• $X$ je neprázdná množina,
• ${\mathcal {A}}$ je $\sigma$-algebra na množině $X$,
• $\mu$ je míra na $(X,{\mathcal {A}})$.

Jednoduše lze říci, že prostor s mírou je měřitelný prostor s mírou na $(X,{\mathcal {A}})$.

Příklad

Uvažujme množinu $X=\{0,1\}$. Na konečných množinách bývá ${\textstyle \sigma }$-algebra obvykle celá potenční množina značená ${\textstyle {\mathcal {P}}(\cdot )}$. Nechť

${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)$,

pak lze potenční množinu vypsat výčtem prvků:

${\mathcal {P}}(X)=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$

a míru ${\textstyle \mu }$ definujeme jako:

$\mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}}$,

takže ${\textstyle \mu (X)=1}$ (díky aditivitě míry) a ${\textstyle \mu (\emptyset )=0}$ (z definice míry).

Tím dostaneme prostor s mírou ${\textstyle (X,{\mathcal {P}}(X),\mu )}$. Tento prostor je pravděpodobnostním prostorem, protože ${\textstyle \mu (X)=1}$. Míra ${\textstyle \mu }$ odpovídá alternativnímu (Bernoulliho) rozdělení s ${\textstyle p={\frac {1}{2}},}$ které se používá například jako model házení poctivou mincí.

Prostory s mírou

• Konečně měřitelné prostory jsou prostory vybavené konečnou mírou.
• Pravděpodobnostní prostory jsou konečně měřitelné prostory vybavené pravděpodobnostní mírou, tj. mírou, která množině $X$ přiřazuje míru $1$.
• $\sigma$-konečně měřitelné prostory jsou prostory, jejichž míra je $\sigma$-konečná.
• Úplně měřitelné prostory jsou prostory vybavené úplnou mírou.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Measure space na anglické Wikipedii.

Související články

• Měřitelný prostor
• Pravděpodobnostní prostor

Portály: Matematika