Conjunt connex
Un conjunt connex (connexió) per a un espai topològic és molt natural. Així, es diu que un espai és disconnex si és possible dividir-lo en dos conjunts oberts amb intersecció nul·la. En cas contrari, es diu que l'espai és connex.
Definició
[modifica]Siga un espai topològic on n'és la topologia.
Direm que un subconjunt és disconnex si tal que .
Es diu doncs que C és connex en el cas que no sigui disconnex
Exemples
[modifica]Conjunts connexos
[modifica]- Les esferes són connexes
- Un punt en és connex
- Un nus és un conjunt connex en
- Un tor és un conjunt connex en
- En , un conjunt és connex si i només si és un interval (matemàtiques)
- El complementari d'un punt en és connex
Conjunts disconnexos
[modifica]- El complementari d'un punt en
- El conjunt format per la unió de dues esferes disjuntes a
- Un enllaç de components (nusos)
Propietats dels conjunts connexos
[modifica]Es compleix que si és un espai topològic connex, qualsevol espai homeomorfa a ell també ho serà. Aquesta propietat ens dona una caracterització molt útil dels conjunts connexos: és un conjunt connex si i només si per a tota funció contínua, es compleix que és una funció constant, on a (topologia discreta).
La imatge per una aplicació contínua d'un conjunt connex és connexa.
Una altra propietat interessant dels conjunts connexos és la següent: Si és una família d'espais topològics connexos (amb un conjunt d'índexs de qualsevol cardinalitat), llavors també és connex, on és la topologia producte.
Finalment, si no és connex, és a dir, si hi ha oberts disjunts no buits tals que la seva unió és , és fàcil veure que cada obert serà el complement de l'altre, després seran complements d'un obert, i per tant, seran tancats. És a dir, seran conjunts clopen. Per això, una altra manera de caracteritzar la connexitat és a dir: serà connex si i només si els únics clopen són (on tots dos conjunts són sempre clopen).
Connexió per arcs
[modifica]Direm que un conjunt és connex per camins o arc connex si donats hi ha un camí continu tal que i .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Peine.jpg/220px-Peine.jpg)
La connexitat per camins implica connexitat, però el recíproc no és cert en general. Un contraexemple molt típic és l'anomenat pinta del topòleg, , on i . és connex, però no connex per camins.
Ser connex per camins no és una propietat hereditària (és a dir, si un conjunt és connex per camins, qualsevol subconjunt d'aquest no és necessàriament connex per camins). Però, ser connex per camins és una propietat topològica (és a dir, la imatge mitjançant una aplicació contínua d'un conjunt connex per camins és connexa per camins).
Components connexes
[modifica]Donat un espai topològic disconnex s'anomena component connexa, a cada un dels conjunts maximals connexos. És a dir un subconjunt és un component connexa si es compleixen aquestes dues condicions:
- és connex.
- Qualsevol conjunt que conté pròpiament a és disconex.
Es compleix que les components connexes de formen una partició de .