Conjugat

En matemàtiques, el conjugat d'un nombre complex $z$ és el nombre complex format de la mateixa part real que $z$ i de la part imaginària oposada.

Definició

El conjugat d'un nombre complex $z=a+bi\,$, on a i b són reals, és ${\bar {z}}=a-bi$.

En el pla complex, el punt d'afix ${\bar {z}}$ és el simètric del punt d'afix $z\,$ respecte de l'eix de les abscisses.

El mòdul del conjugat resta inalterat.

Hom pot definir una aplicació, anomenada conjugació, mitjançant

${\begin{array}{r|ccc}c:&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\&z&\longmapsto &{\overline {z}}\end{array}}$

La conjugació és una operació lineal contínua.

Propietats

Sia $(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}$.

• $\left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|$

• $z+{\overline {z}}=2\,\Re (z)$ (on $\Re (z)=a$ és la part real de $z$)

• $z-{\overline {z}}=2i\,\Im (z)$ (on $\Im (z)=b$ és la part imàginaria de $z$)

• z és real si i només si ${\bar {z}}=z$

• z és imaginari pur si i només si ${\bar {z}}=-z$

• ${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$

• ${\overline {zw}}={\bar {z}}\times {\bar {w}}$; per consegüent : ${\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n}$ si $n\in \mathbb {N}$

• $z{\overline {z}}=\left|z\right|^{2}$; per consegüent, si $z$ és no nul, $z^{-1}={{\overline {z}} \over {\left|z\right|^{2}}}$

• ${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}$ si $w\,$ és no nul.