Tensor d'energia-moment

En relativitat general la curvatura del espai-temps ve donada pel tensor d'energía-impuls.

El tensor de tensió-energia, també anomenat tensor energia-impuls (o igualment tensor d'energia - moment) és una quantitat tensorial en la teoria de la relativitat que s'usa per descriure el flux d'energia i el moment lineal d'una distribució contínua de matèria en el context de la teoria de la relativitat, a més de ser molt important en les equacions d'Einstein per al camp gravitacional.

Introducció

Fixat un conjunt de coordenades o una base $\scriptstyle \{{\mathbf {e} }^{0},{\mathbf {e} }^{1},{\mathbf {e} }^{2},{\mathbf {e} }^{3}\}$ en cada punt de l'espai-temps (els elements d'aquesta base seria matemàticament 1-forma), el tensor energia-impuls és un tensor de rang 2 que es pot descriure com una matriu del tipus:

$\mathbf {T} (\mathbf {x} )=T_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ){\mathbf {e} }^{\alpha }{\mathbf {e} }^{\beta },\qquad T_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}T_{00}&T_{01}&T_{02}&T_{03}\\T_{10}&T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{20}&T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{30}&T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{bmatrix}}$

On en l'expressió anterior s'ha usat el conveni de sumació d'Einstein. Si considerem ara un observador que es mou amb quadrivelocitat $\scriptstyle \mathbf {u} =u^{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }$ per aquest observador ve donada per:

$e=T_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ){\frac {u^{\alpha }u^{\beta }}{c^{2}}}$

I el flux d'energia a través d'una superfície (de tipus espacial i en repòs respecte a l'observador) el vector normal vingui donat per $\scriptstyle \mathbf {n}$ ve donat per:

$-T_{\alpha \beta }(\mathbf {x} )u^{\alpha }n^{\beta }$

Llei de conservació

En el context de la teoria de la relativitat, la llei de conservació de l'energia i la llei de conservació de la quantitat de moviment poden expressar-se de manera molt simple en termes del tensor d'energia-impuls. Concretament ambdues lleis es poden escriure conjuntament com una equació de continuïtat del tipus:

$\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0$

La quantitat

$P^{\mu }={\frac {1}{c}}\int _{V}T^{0\mu }\ d^{3}\mathbf {x}$

Llei de conservació

En el context de la teoria de la relativitat, la llei de conservació de l'energia i la llei de conservació de la quantitat de moviment poden expressar-se de manera molt simple en termes del tensor d'energia-impuls. Concretament ambdues lleis es poden escriure conjuntament com una equació de continuïtat del tipus:

$\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0$

La quantitat

$P^{\mu }={\frac {1}{c}}\int _{V}T^{0\mu }\ d^{3}\mathbf {x}$

sobre una llesca de tipus espai dóna el quadrivector energia-moment o quadrimoment. Aquest tensor és el corrent de Noether associat a les translacions en l'espai-temps. En relativitat general, aquesta quantitat actua com la font de la curvatura de l'espai-temps, i és la densitat de corrent associada a les transformacions de gauge (en aquest cas transformacions de coordenades) pel teorema de Noether. Ara bé, en l'espai-temps corbat, la integral de tipus espai depèn de la llesca de tipus espai, en general. No hi ha de fet manera de definir un vector global d'energia-moment en un espai-temps corbat en general.