Teorema de Bernstein-von Mises
En la inferència bayesiana, el teorema de Bernstein–von Mises proporciona la base per utilitzar conjunts bayesians creïbles per a declaracions de confiança en models paramètrics. Afirma que sota algunes condicions, una distribució posterior convergeix en el límit de dades infinites a una distribució normal multivariant centrada en l'estimador de màxima versemblança amb matriu de covariància donada per , on és el veritable paràmetre de població i és la matriu d'informació de Fisher al valor del paràmetre de població real: [1]
El teorema de Bernstein–von Mises enllaça la inferència bayesiana amb la inferència freqüentista. Assumeix que hi ha un veritable procés probabilístic que genera les observacions, com en el freqüentisme, i després estudia la qualitat dels mètodes bayesians per recuperar aquest procés i fer declaracions d'incertesa sobre aquest procés. En particular, afirma que els conjunts Bayesians creïbles d'un cert nivell de credibilitat seran asimptòticament conjunts de confiança de nivell de confiança , que permet la interpretació de conjunts creïbles bayesians.[2]
Declaració heurística
modificaEn una maqueta , sota determinades condicions de regularitat (dimensional finita, ben especificada, suau, existència de proves), si la distribució prèvia activat té una densitat respecte a la mesura de Lebesgue que és prou suau (prop limitada lluny de zero), la distància de variació total entre la distribució posterior reescalada (centrant i reescalant a ) i una distribució gaussiana centrada en qualsevol estimador eficient i amb la informació de Fisher inversa com a variància convergirà en probabilitat a zero.[3]
Bernstein–von Mises i estimació de màxima versemblança
modificaEn cas que l'estimador de màxima probabilitat sigui un estimador eficient, podem connectar-ho i recuperar una versió comuna, més específica, del teorema de Bernstein–von Mises.[4]
Implicacions
modificaLa implicació més important del teorema de Bernstein-von Mises és que la inferència bayesiana és asimptòticament correcta des d'un punt de vista freqüentista. Això vol dir que per a grans quantitats de dades, es pot utilitzar la distribució posterior per fer, des d'un punt de vista freqüentista, afirmacions vàlides sobre l'estimació i la incertesa.
Història
modificaEl teorema rep el nom de Richard von Mises i SN Bernstein, encara que la primera demostració pròpia la va donar Joseph L. Doob el 1949 per a variables aleatòries amb espai de probabilitat finit.[5] Més tard Lucien Le Cam, la seva estudiant de doctorat Lorraine Schwartz, David A. Freedman i Persi Diaconis van ampliar la prova sota supòsits més generals.
Referències
modifica- ↑ van der Vaart, A.W.. «10.2 Bernstein–von Mises Theorem». A: Asymptotic Statistics (en anglès). Cambridge University Press, 1998. ISBN 0-521-78450-6.
- ↑ «[https://www.statslab.cam.ac.uk/~nickl/Site/__files/JEMS975.pdf Bernstein–von Mises theorems for statistical inverse problems I: Schr¨odinger equation]» (en anglès). [Consulta: 3 agost 2024].
- ↑ «STATISTICAL THEORY» (en anglès). [Consulta: 3 agost 2024].
- ↑ «[http://www.stat.yale.edu/~hz68/MatrixBvMarxiv.pdf Bernstein-von Mises Theorems for Functionals of Covariance Matrix]» (en anglès). [Consulta: 3 agost 2024].
- ↑ Doob, Joseph L. Colloq. Intern. Du C.N.R.S (Paris), 13, 1949, pàg. 23–27.