Coloració de grafs

En teoria de grafs, la coloració de grafs és un cas especial d'etiquetatge de grafs, una assignació d'etiquetes tradicionalment anomenades «colors» als elements d'un graf subjecte a certes restriccions. En la seva forma més senzilla, és una manera d'acolorir els vèrtexs d'un graf de tal manera que no n'hi hagi dos de contigus del mateix color; d'això se'n diu coloració de vèrtexs. Similarment, la coloració d'arestes consisteix a assignar un color a cada aresta tal que no n'hi hagi dues d'adjacents del mateix color i la coloració de cares d'un graf planar consisteix a assignar un color a cada cara o regió tal que no hi hagi dues cares del mateix color amb un costat en comú.

Una coloració adequada del graf de Petersen amb 3 colors, el mínim nombre possible perquè no n'hi hagi dos de contigus.

El punt de partida del tema és la coloració de vèrtexs, ja que la resta de problemes de coloració es poden reduir a una de vèrtexs. Per exemple, la coloració d'arestes d'un graf és tan sols una coloració de vèrtexs del seu graf línia i la coloració de cares d'un graf pla és simplement una coloració de vèrtexs del seu dual. Tanmateix, els problemes que no són de coloració de vèrtexs solen estudiar-se tal com són. Això és per una part per la perspectiva i per l'altra perquè certs problemes són més fàcils d'estudiar amb un sistema diferent —la coloració d'arestes n'és un exemple.

La convenció d'utilitzar colors prové de la cartografia, on els països o regions s'acoloreixen diferent per distingir-se. Aquest sistema es generalitzà acolorint les cares d'un graf incrustat en el pla. Per dualitat planar esdevingué coloració de vèrtexs i d'aquesta forma es generalitza a tots els grafs. En les representacions matemàtiques i computacionals, és habitual usar els primers enters positius o no negatius com a «colors». Més generalment, es pot usar qualsevol conjunt finit com a «conjunt de colors».

La coloració de grafs té diverses utilitats pràctiques així com reptes teòrics. A part dels tipus clàssics de problemes, també es poden aplicar diferents limitacions al graf, a l'assignació del color o fins i tot al color en si. Entre el públic general ha assolit popularitat a través del trencaclosques numèric sudoku. La coloració de grafs segueix sent un camp actiu de recerca.

Fonts

• Barenboim, L.; Elkin, M. Proceedings of the 41st Symposium on Theory of Computing, 2009, p. 111-120. DOI 10.1145/1536414.1536432. ISBN 978-1-60558-506-2. «Distributed (Δ + 1)-coloring in linear (in Δ) time» 

• Panconesi, A.; Srinivasan, A. Journal of Algorithms. 20, 1996. «On the complexity of distributed network decomposition» 

• Schneider, J. Proceedings of the Symposium on Principles of Distributed Computing, 2010. «A new technique for distributed symmetry breaking» 
• Schneider, J. Proceedings of the Symposium on Principles of Distributed Computing, 2008. «A log-star distributed maximal independent set algorithm for growth-bounded graphs» 

• Beigel, R.; Eppstein, D. «3-coloring in time O(1.3289ⁿ)». Journal of Algorithms, 54, 2), 2005, p. 168–204. DOI: 10.1016/j.jalgor.2004.06.008.
• Björklund, A.; Husfeldt, T.; Koivisto, M. «Set partitioning via inclusion–exclusion». SIAM Journal on Computing, 39, 2, 2009, p. 546–563. DOI: 10.1137/070683933.
• Brélaz, D. «New methods to color the vertices of a graph». Communications of the ACM, 22, 4, 1979, p. 251–256. DOI: 10.1145/359094.359101.
• Brooks, R. L.; Tutte, W. T. «On colouring the nodes of a network». Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 37, 2, 1941, p. 194–197. DOI: 10.1017/S030500410002168X.
• de Bruijn, N. G.; Erdős, P. «A colour problem for infinite graphs and a problem in the theory of relations». Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, 54, 1951, p. 371–373. (= Indag. Math. 13)
• Byskov, J.M. «Enumerating maximal independent sets with applications to graph colouring». Operations Research Letters, 32, 6, 2004, p. 547–556. DOI: 10.1016/j.orl.2004.03.002.

• Chaitin, G. J.. Proc. 1982 SIGPLAN Symposium on Compiler Construction, 1982, p. 98–105. DOI 10.1145/800230.806984. ISBN 0-89791-074-5. «Register allocation & spilling via graph colouring» 
• Cole, R.; Vishkin, U. «Deterministic coin tossing with applications to optimal parallel list ranking». Information and Control, 70, 1, 1986, p. 32–53. DOI: 10.1016/S0019-9958(86)80023-7.
• Cormen, T. H.; Leiserson, C. E.; Rivest, R. L.. Introduction to Algorithms. 1a ed.. The MIT Press, 1990. 
• Dailey, D. P. «Uniqueness of colorability and colorability of planar 4-regular graphs are NP-complete». Discrete Mathematics, 30, 3, 1980, p. 289–293. DOI: 10.1016/0012-365X(80)90236-8.
• Duffy, K.; O'Connell, N.; Sapozhnikov, A. «Complexity analysis of a decentralised graph colouring algorithm». Information Processing Letters, 107, 2, 2008, p. 60–63. DOI: 10.1016/j.ipl.2008.01.002.
• Fawcett, B. W. «On infinite full colourings of graphs». Can. J. Math., XXX, 1978, p. 455–457. DOI: 10.4153/cjm-1978-039-8.

• Fomin, F.V.; Gaspers, S.; Saurabh, S. Proc. 13th Annual International Conference, COCOON 2007. 4598. Springer, 2007, p. 65–74. DOI 10.1007/978-3-540-73545-8_9. ISBN 978-3-540-73544-1. «Improved Exact Algorithms for Counting 3- and 4-Colorings» 
• Garey, M. R.; Johnson, D. S.. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. W.H. Freeman, 1979. ISBN 0-7167-1045-5. 
• Garey, M. R.; Johnson, D. S.; Stockmeyer, L. Proceedings of the Sixth Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 1974, p. 47–63. DOI 10.1145/800119.803884. «Some simplified NP-complete problems» 
• Goldberg, L. A.; Jerrum, M. «Inapproximability of the Tutte polynomial». Information and Computation, 206, 7, 7-2008, p. 908–929. DOI: 10.1016/j.ic.2008.04.003.
• Goldberg, A. V.; Plotkin, S. A.; Shannon, G. E. «Parallel symmetry-breaking in sparse graphs». SIAM Journal on Discrete Mathematics, 1, 4, 1988, p. 434–446. DOI: 10.1137/0401044.
• Guruswami, V.; Khanna, S. Proceedings of the 15th Annual IEEE Conference on Computational Complexity, 2000, p. 188–197. DOI 10.1109/CCC.2000.856749. ISBN 0-7695-0674-7. «On the hardness of 4-coloring a 3-colorable graph» 
• Halldórsson, M. M. «A still better performance guarantee for approximate graph coloring». Information Processing Letters, 45, 1993, p. 19–23. DOI: 10.1016/0020-0190(93)90246-6.
• Holyer, I. «The NP-completeness of edge-coloring». SIAM Journal on Computing, 10, 4, 1981, p. 718–720. DOI: 10.1137/0210055.
• Crescenzi, P.; Kann, V. «How to find the best approximation results — a follow-up to Garey and Johnson». ACM SIGACT News, 29, 4, 12-1998, p. 90. DOI: 10.1145/306198.306210.
• Jaeger, F.; Vertigan, D. L.; Welsh, D. J. A. «On the computational complexity of the Jones and Tutte polynomials». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 108, 1990, p. 35–53. DOI: 10.1017/S0305004100068936.
• Jensen, T. R.; Toft, B. Graph Coloring Problems. Wiley-Interscience, New York, 1995. ISBN 0-471-02865-7. 
• Khot, S. Proc. 42nd Annual Symposium on Foundations of Computer Science, 2001, p. 600–609. DOI 10.1109/SFCS.2001.959936. ISBN 0-7695-1116-3. «Improved inapproximability results for MaxClique, chromatic number and approximate graph coloring» 
• Kubale, M. Graph Colorings. American Mathematical Society, 2004. ISBN 0-8218-3458-4. 
• Kuhn, F. Proceedings of the 21st Symposium on Parallelism in Algorithms and Architectures, 2009, p. 138–144. DOI 10.1145/1583991.1584032. ISBN 978-1-60558-606-9. «Weak graph colorings: distributed algorithms and applications» 
• Lawler, E.L. «A note on the complexity of the chromatic number problem». Information Processing Letters, 5, 3, 1976, p. 66–67. DOI: 10.1016/0020-0190(76)90065-X.

• Leith, D.J.; Clifford, P. Proc. RAWNET 2006, Boston, MA, 2006. «A Self-Managed Distributed Channel Selection Algorithm for WLAN» 
• Lineal, N. «Locality in distributed graph algorithms». SIAM Journal on Computing, 21, 1, 1992, p. 193–201. DOI: 10.1137/0221015.
• van Lint, J. H.; Wilson, R. M.. A Course in Combinatorics. 2a edició. Cambridge University Press, 2001. ISBN 0-521-80340-3. 
• Marx, Dániel. Periodica Polytechnica, Electrical Engineering. 48, 2004, p. 11-16. Plantilla:Citeseerx. «Graph colouring problems and their applications in scheduling» 
• Mycielski, J. «Sur le coloriage des graphes». Colloq. Math., 3, 1955, p. 161-162..
• Nešetřil, Jaroslav; Ossona de Mendez, Patrice. Sparsity: Graphs, Structures, and Algorithms. 28. Heidelberg: Springer, 2012, p. 42. DOI 10.1007/978-3-642-27875-4. ISBN 978-3-642-27874-7. «Theorem 3.13» .
• Panconesi, Alessandro; Rizzi, Romeo «Some simple distributed algorithms for sparse networks». Distributed Computing. Springer-Verlag [Berlín, Nova York], 14, 2, 2001, p. 97–100. DOI: 10.1007/PL00008932. ISSN: 0178-2770.
• Sekine, K.; Imai, H.; Tani, S. Proc. 6th International Symposium on Algorithms and Computation (ISAAC 1995). 1004. Springer, 1995, p. 224–233. DOI 10.1007/BFb0015427. ISBN 3-540-60573-8. «Computing the Tutte polynomial of a graph of moderate size» 
• Welsh, D. J. A.; Powell, M. B. «An upper bound for the chromatic number of a graph and its application to timetabling problems». The Computer Journal, 10, 1, 1967, p. 85–86. DOI: 10.1093/comjnl/10.1.85.
• West, D. B.. Introduction to Graph Theory. Prentice-Hall, 1996. ISBN 0-13-227828-6. 
• Wilf, H. S.. Algorithms and Complexity. Prentice–Hall, 1986. 
• Zuckerman, D. «Linear degree extractors and the inapproximability of Max Clique and Chromatic Number». Theory of Computing, 3, 2007, p. 103–128. DOI: 10.4086/toc.2007.v003a006.
• Zykov, A. A. «О некоторых свойствах линейных комплексов (On some properties of linear complexes)» (en russian). Math. Sbornik., 24(66), 2, 1949, p. 163–188.
• Jensen, Tommy R.; Toft, Bjarne. Graph Coloring Problems. John Wiley & Sons, 1995. ISBN 9780471028659. 
• Normann, Per «Parallel Graph Coloring». . DIVA, 2014. ISSN: 1401-5757.