Usuari:Solde/Traduccions

En la teoria de la probabilitat i l'estadística, la distribució uniforme discreta és una distribució de probabilitat simètrica en la qual és igualment probable que s'observi un nombre finit de valors; cadascun dels n valors té la mateixa probabilitat 1/ n . Una altra manera de dir "distribució uniforme discreta" seria "un nombre finit i conegut de resultats amb la mateixa probabilitat de passar".

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Un exemple senzill de la distribució uniforme discreta és llançar un dau just. Els valors possibles són 1, 2, 3, 4, 5, 6, i cada vegada que es llança el dau la probabilitat d'una puntuació determinada és 1/6. Si es llancen dos daus i s'afegeixen els seus valors, la distribució resultant ja no és uniforme perquè no totes les sumes tenen la mateixa probabilitat. Encara que és convenient descriure distribucions uniformes discretes sobre nombres enters, com aquesta, també es poden considerar distribucions uniformes discretes sobre qualsevol conjunt finit . Per exemple, una permutació aleatòria és una permutació generada de manera uniforme a partir de les permutacions d'una longitud determinada, i un arbre allargant uniforme és un arbre d'expansió generat uniformement a partir dels arbres d'expansió d'un gràfic donat.

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

La distribució uniforme discreta en si és inherentment no paramètrica. És convenient, però, representar els seus valors generalment per tots els nombres enters en un interval [ a, b ], de manera que a i b esdevinguin els paràmetres principals de la distribució (sovint només es considera l'interval [1, n ] amb l'únic paràmetre n ). Amb aquestes convencions, la funció de distribució acumulada (CDF) de la distribució uniforme discreta es pot expressar, per a qualsevol k ∈ [ a, b ], com

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}

Estimació del màxim

Aquest exemple es descriu dient que una mostra de k observacions s'obté d'una distribució uniforme sobre els nombres enters $1,2,\dotsc ,N$ , amb el problema d'estimar el màxim desconegut N. Aquest problema es coneix comunament com el problema dels tancs alemanys, després de l'aplicació de l'estimació màxima a les estimacions de la producció de tancs alemanys durant la Segona Guerra Mundial.

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

L'estimador de variància mínima uniforme no esbiaixada (UMVU) per al màxim ve donat per

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

{\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1

on m és el màxim de la mostra i k és la mida de la mostra, mostreig sense substitució. ^[1] Això es pot veure com un cas molt senzill d' estimació de l'espai màxim .

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Això té una variació de ^[1]

{\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ for small samples }}k\ll N

per tant, una desviació estàndard d'aproximadament ${\tfrac {N}{k}}$ , la mida mitjana (de la població) d'una bretxa entre mostres; comparar ${\tfrac {m}{k}}$ a dalt.

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

El màxim mostral és l'estimador de màxima probabilitat per al màxim de la població, però, com s'ha comentat anteriorment, està esbiaixat.

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Si les mostres no estan numerades però són reconeixibles o marcables, es pot estimar la mida de la població mitjançant el mètode de captura-recaptura .

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

↑ ^1,0 ^1,1 Johnson, Roger (1994), "Estimating the Size of a Population", Teaching Statistics 16 (2 (Summer)): 50–52, DOI 10.1111/j.1467-9639.1994.tb00688.x Error de citació: Etiqueta <ref> no vàlida; el nom «Johnson» està definit diverses vegades amb contingut diferent.

[Johnson-1] 1,0 ^1,1 Johnson, Roger (1994), "Estimating the Size of a Population", Teaching Statistics 16 (2 (Summer)): 50–52, DOI 10.1111/j.1467-9639.1994.tb00688.x Error de citació: Etiqueta <ref> no vàlida; el nom «Johnson» està definit diverses vegades amb contingut diferent.

[1]