Teoria de la mesura: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m →Mesures Sigma-finites: - AP en vermell |
|||
| (28 revisions intermèdies per 5 usuaris que no es mostren) | |||
Línia 1:
[[Fitxer:Measure illustration.png|
En [[matemàtiques]] el concepte de '''mesura''' generalitza nocions com ara "longitud", "àrea", i "volum" (tot i que no totes les aplicacions de les mesures tenen a veure amb mides físiques). De manera informal, donat un [[conjunt]] base, una "mesura" és una assignació consistent de "grandàries" als [[subconjunt]]s del conjunt base. Depenent de com es faci aquesta assignació, la "mida" d'un subconjunt es pot interpretar, per exemple, com: la seva mida física, la quantitat de quelcom que està dins del subconjunt, o la probabilitat que algun procés aleatori doni un resultat que pertanyi al subconjunt. Les mesures es fan servir principalment per a definir el concepte general d'[[integració]] sobre dominis amb estructura més complexa que els [[interval (matemàtiques)|intervals]] de la [[recta real]] ([[Integral de Lebesgue]]). Aquestes integrals es fan
Sovint no és possible, o no és desitjable, assignar mida a ''tots'' els subconjunts del conjunt base, per tant, no cal que la mesura ho faci. Hi ha certes condicions de consistència que determinen a quines combinacions de subconjunts se'ls pot assignar mida a través d'una mesura; aquestes condicions determinen el concepte de [[σ-àlgebra]].
Línia 9:
La '''teoria de la mesura''' és una branca de l'[[anàlisi matemàtica]] (no de la [[metrologia]]) que estudia les [[σ-àlgebra|σ-àlgebres]], les mesures, les [[funció mesurable|funcions mesurables]] i les [[integral]]s.
== Definició ==
Formalment, una mesura μ és una [[funció (matemàtiques)|funció]] definida sobre una [[σ-àlgebra]] Σ sobre un conjunt ''X'' i que
▲Formalment, una mesura μ és una [[funció (matemàtiques)|funció]] definida sobre una [[σ-àlgebra]] Σ sobre un conjunt ''X'' i que dóna valors en l'interval [0,∞] de la [[recta real estesa]] de forma tal que satisfà les següents propietats:
▲* El [[conjunt buit]] té [[conjunt de mida zero|mida zero]]:
:<math> \mu(\varnothing) = 0 </math>.
* ''additivitat numerable'' o ''[[σ-additivitat]]'': si ''E''<sub>1</sub>, ''E''
:<math> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).</math>
La terna (''X'', Σ, μ) s'anomena un '''espai mesurable''', els membres de Σ s'anomenen '''conjunts mesurables'''.
Línia 27 ⟶ 26:
Per a espais mesurables que també són [[espai topològic|espais topològics]] es poden establir diverses condicions de compatibilitat per a la mesura i la topologia. La majoria de les mesures que es troben a la pràctica en [[anàlisi matemàtica]] i en [[teoria de la probabilitat]] són [[mesura de Radon|mesures de Radon]]. Les mesures de Radon tenen una definició alternativa en termes de funcions lineals sobre l'[[espai localment convex]] de les [[funció contínua|funcions contínues]] amb [[suport compacte]]. Aquest enfocament és el que fa [[Bourbaki]] ([[2004]]) i alguns altres autors. Per a més detalls vegeu [[mesura de Radon]].
== Propietats ==
A partir de la definició de mesura additiva se'n poden deduir diverses propietats.
=== Monotonia ===
La mesura μ és [[funció monòtona|monòtona]]: Si ''E''<sub>1</sub> i ''E''
:<math>\mu(E_1) \leq \mu(E_2)</math>.
=== Mesura de la unió infinita de conjunts mesurables ===
Una mesura μ és numerablement subadditiva: Si ''E''<sub>1</sub>, ''E''
:<math>\mu\left(
Una mesura μ és contínua per avall: Si ''E''<sub>1</sub>, ''E''
:<math> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i).</math>
=== Mesura de la intersecció infinita de conjunts mesurables ===
Una mesura μ és contínua per damunt: Si ''E''<sub>1</sub>, ''E''
:<math> \mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i).</math>
Línia 54 ⟶ 53:
fixeu-vos que tots tenen mesura finita, però la intersecció és buida.
== Mesures Sigma-finites ==
:
Un espai mesurable (''X'', Σ, μ) es diu finit si μ(''X'') és un nombre real finit (en comptes
Per exemple, els [[nombres reals]] amb la [[mesura de Lebesgue]] són σ-finits però no són finits. Considereu els [[interval tancat|intervals tancats]] [''k'',''k''+1] per a tots els [[nombres enters|enters]] ''k''; n'hi ha una quantitat numerable, cada un té mesura 1, i la seva unió és tota la [[recta real]]. De forma alternativa, considereu els [[nombres reals]] amb la [[mesura de comptar]], que a cada conjunt finit de nombres reals li assigna el nombre de punts que hi ha al conjunt. Aquest espai mesurable no és σ-finit, perquè cada conjunt amb mesura finita només conté una quantitat finita de punts, i per tant, caldria una quantitat no numerable de conjunts per tal de recobrir la recta real. Els espais de mesura σ-finits tenen algunes propietats molt convenients; la σ-finitud pel que aquí respecta es pot comparar amb la [[espai de Lindelöf|propietat de Lindelöf]] dels espais topològics.
== Completesa ==
Un conjunt mesurable ''X'' es diu que és un ''[[conjunt nul]]'' si μ(''X'')=0. Un subconjunt d'un conjunt nul s'anomena ''conjunt negligible''. Un conjunt negligible pot no ser mesurable, però tots els conjunts negligibles mesurables són conjunts nuls. Es diu que una mesura és ''completa'' si tot conjunt negligible és mesurable.
Tota mesura es pot estendre a una mesura completa a base de considerar la σ-algebra dels subconjunts ''Y'' que es diferencien en un conjunt negligible d'un conjunt mesurable ''X'', és a dir, tal que la [[diferència simètrica]]
== Exemples ==
* La [[
* La [[mesura de Lebesgue]] sobre '''R''' és l'única mesura sobre una ''σ''-àlgebra que contingui els [[interval (matemàtiques)|intervals]] de '''R '''completa i invariant per translacions tal que μ([0,1]) = 1.
▲* La [[mesura de contar|mesura de comptar]] es defineix per μ(''S'') = nombre d'elements de ''S''.
▲* La [[mesura de Lebesgue]] sobre '''R''' és l'única mesura sobre una ''σ''-àlgebra que contingui els [[interval (matemàtiques)|intervals]] de '''R '''completa i invariant per translacions tal que μ([0,1]) = 1.
* Mesura de l'[[angle]] circular és invariant per la [[rotació (matemàtiques)|rotació]].
* La [[mesura de Haar]] per a [[grup topològic|grups topologics]] [[espai localment compacte|localment compactes]] és una generalització de la mesura de Lebesgue (i també de la mesura de contar i de la mesura de l'angle circular) i té propietats similars de ser única.
* La [[mesura de Hausdorff]] que és una extensió de la mesura de Lebesgue a alguns conjunts fractals.
* Tot [[espai de probabilitat]] genera una mesura que pren el valor 1 sobre l'espai d'enters (i per tant pren tots els seus valors en l'[[interval (matemàtiques)|interval]] [0,1]). Tota mesura d'aquest tipus es diu ''mesura de probabilitat''. Vegeu [[axiomes de probabilitat]].
* La mesura de Dirac μ<sub>''a''</sub> (és a dir la [[funció delta de Dirac]]) ve donada per μ<sub>''a''</sub>(''S'') = χ<sub>''S''</sub> = [''a'' ∈ ''S''], on χ<sub>''S''</sub> és la [[Funció característica (matemàtiques)|funció característica]] de ''S'' i els claudàtors són els [[claudàtors d'inversió]]. La mesura d'un conjunt és 1 si conté el punt ''a'' i 0 altrament.
Altres mesures són: la [[mesura de Borel]], la [[mesura de Jordan]], la [[mesura
== Conjunts no mesurables i conjunts de mesura
:{{article principal|Conjunt no mesurable}}
:{{article principal|Conjunt de mesura nul·la}}
No tots els subconjunts d'un [[espai euclidià]] són [[Mesura de Lebesgue|Lebesgue mesurable]]s; exemples d'aquesta mena de subconjunts inclouen el [[conjunt de Vitali]], i els conjunts no mesurables postulats per la [[paradoxa de Hausdorff]] i la [[paradoxa de Banach–Tarski]].
També cal tenir en compte que, tot i que prenent la mesura de Lebesgue a '''R''' tots els conjunts numerables són de mesura zero, no tots els conjunts de mesura zero. Un exemple d'aquest cas és el [[Conjunt de Cantor]], un conjunt no numerable però de mesura zero.
== Generalitzacions ==
Per a algunes aplicacions, és útil tenir una mesura, els valors de la qual no estiguin restringits als reals no negatius més l'infinit. Per exemple una funció dels conjunts numerablement additius en el nombres reals amb signe s'anomena una ''[[mesura amb signe]]'', mentre que una funció d'aquesta mena amb valors en els [[nombres complexos]] s'anomena una ''[[mesura complexa]]''. S'han estudiat a bastament mesures que prenen valors en [[espai de Banach|espais de Banach]]. Una mesura que pren valors en el conjunt de les projeccions autoadjuntes en un [[espai de Hilbert]] s'anomena una ''[[mesura amb valors projectius]]''; aquestes mesures es fan servir fonamentalment en [[anàlisi funcional]] per al [[teorema espectral]]. Quan cal distingir entre les mesures usuals que prenen valors no negatius de les generalitzacions, es fa servir el terme "mesura positiva".
Una altra generalització és la ''mesura finitament additiva''. És el mateix que una mesura excepte que en comptes d'exigir additivitat numerable s'exigeix additivitat finita. Històricament, aquesta definició és la primera que es va fer servir, però s'ha demostrat que no és tant útil. Resulta que en general, les mesures finitament additives estan connectades amb nocions com [[límit de Banach|límits de Banach]], el dual de l'[[espai lp|''L''<sup>∞</sup>]] i la [[compactificació de Stone-Čech]]. Tots ells connectats d'una o altra manera amb l'[[axioma d'elecció]].
Un resultat a ressaltar en [[geometria integral]] és el conegut com a [[teorema de Hadwiger]] que estableix que l'espai de les funcions finitament additives (no necessàriament no negatives) definides sobre [[unions finites]] de [[conjunt convex|conjunts convexos]] compactes en '''R'''<sup>''n''</sup> que siguin invariants respecte de les trnlacions, consisteix en (tret del producte per un escalar) en una "mesura" que és "homogènia de grau ''k''" per a cada ''k'' = 0, 1, 2, ..., ''n'', i en combinacions lineals d'aquestes "mesures". "Homogènia de grau ''k''" vol dir que ampliar (o reduir) un conjunt per un factor d'escala ''c'' > 0 multiplica la "mesura" del conjunt per ''c''<sup>''k''</sup>. La que és homogènia de grau ''n'' és le volum ordinari de dimensió ''n''. La que és homogènia de grau ''n''
Una mesura és un cas particular de [[Contingut (teoria de la mesura)|contingut]].
Línia 107 ⟶ 103:
* {{ref-llibre|nom=R. G|cognom=Bartle|any=1995|títol=The Elements of Integration and Lebesgue Measure|editorial=Wiley Interscience|llengua=anglès}}
* {{ref-llibre | cognom=Bourbaki| nom=Nicolas |enllaçautor=Bourbaki| títol=Integration I | any=2004 | editorial=Springer Verlag | isbn=3-540-41129-1|llengua=anglès}} Capítol tercer.
* {{ref-llibre|nom=R. M|cognom=Dudley|any=2002|títol=Real Analysis and Probability|editorial=[[Cambridge University Press]]|llengua=anglès}}
* {{ref-llibre
* {{ref-llibre|nom=D. H|cognom=
* {{ref-llibre|enllaçautor=Paul Halmos|nom=Paul|cognom=Halmos|any=1950|títol=Measure theory|editorial=Van Nostrand and Co.|llengua=anglès}}
* {{ref-llibre|cognom= Luce|nom=R. Duncan|coautors=Louis Narens|any=1987|capítol=measurement, theory of |títol=The New Palgrave: A Dictionary of Economics|edició=3a
* {{ref-llibre|nom=M. E|cognom=Munroe|any= 1953|títol=Introduction to Measure and Integration|editorial=Addison Wesley|llengua=anglès}}
* {{ref-llibre|cognom=Shilov|nom=G. E.|coautors= Gurevich, B. L|any= 1978|títol=Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach|editor=traducció: Richard A. Silverman|editorial=Dover Publications|isbn=0-486-63519-8|llengua=anglès}} Emfatitza la [[integral de Daniell]].
{{Autoritat}}
{{ORDENA:Teoria De La Mesura}}
[[Categoria:Teoria de la mesura| ]]
[[Categoria:Estadística]]
| |||