Функционал

В математиката, функционал е изображение от линейно пространство на функции в съответното му поле, обикновено това са комплексните числа. С други думи, това е функция, която съпоставя на аргумент функция комплексно число. За първи път се използва във вариационното смятане, където се търси функцията, която минимизира даден функционал. Приложението му във физиката е да се търси такова състояние на система, което минимизира функционала на енергията.

Особен вид функционали, т.нар. линейни функционали се изучават в теорията на дуалните пространства.

Трансформацията на функции е по-общо понятие, виж оператор.

Примери

Дуалност

Да забележим, че изображението

$x_{0}\mapsto f(x_{0})$

е функция. Тук $x_{0}$ е аргумента на функцията. Същевременно изображението на функция в стойността ѝ в дадена точка

$f\mapsto f(x_{0})$

е функционал, тук $x_{0}$ е параметър.

Когато f е линейна функция от линейно пространство в съответното поле, горните линейни изображения са дуални едно на друго и във функционалния анализ се наричат линейни функционали.

Интеграл

Интеграли като например

$f\mapsto I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\ldots )\;\mu ({\mbox{d}}x)$

оформят особен вид функционали. Те изобразяват функция f в реално число, при условие, че H приема реални стойности. Ето още примери

• лицето под графиката на положителна фунцкия f

$f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)dx$

• Lp норма на функция

$f\mapsto \left(\int |f|^{p}dx\right)^{1/p}$

• дължина на крива в n-мерно пространство

$f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}dx$

Функционално уравнение

Традиционно това понятие се употребява за уравнения с функционали: уравнението F = G между два функционала може да се възприеме като 'уравнение' с решения функции. Например всяка адитивна функция f е решение на функционалното уравнение

f(x+y) = f(x) + f(y).

Производни на функционали

Производна на функционал се използва в механиката и дава сведения за това как функционалът се изменя, когато функцията се изменя по малко. Виж вариационно смятане.

Литература

• Eric W. Weisstein et al. "Functional." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.