Тэарэма косінусаў

Тэарэма косінусаў — адна з тэарэм геаметрыі, абагульненне тэарэмы Піфагора.

Тэарэма сцвярджае:

Квадрат стараны трохвугольніка роўны суме квадратаў дзвюх другіх старон без падвоенага здабытку гэтых старон на косінус вугла паміж імі.

Тое ж у выглядзе формулы:

Для трохвугольніка са старанамі a, b, c і вуглом α, процілеглым да стараны a, справядліва роўнасць:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha .$

Доказ

Разгледзім трохвугольнік ABC. З вяршыні C на старану AB апусцім вышыню CD. З трохвугольніка ADC маем:

AD=b\cos \alpha ,

DB=c-b\cos \alpha .

Запішам тэарэму Піфагора для двух прамавугольных трохвугольнікаў ADC і BDC:

h^{2}=b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad \qquad (1)

h^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad (2)

Прыраўняем правыя часткі ўраўненняў (1) і (2):

b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}.

Пасля пераўтварэнняў маем:

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha .

Выпадак, калі адзін з вуглоў пры аснове тупы (і вышыня падае на працяг асновы), цалкам аналагічны разгледжанаму.

Выразы для старон b і c:

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta ,

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .

Варыяцыі і абагульненні