In algebraic topology, the Betti numbers are used to distinguish topological spaces based on the connectivity of n-dimensional simplicial complexes. For the most reasonable finite-dimensional spaces (such as compact manifolds, finite simplicial complexes or CW complexes), the sequence of Betti numbers is 0 from some point onward (Betti numbers vanish above the dimension of a space), and they are a
原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。 正確な表現に改訳できる方を求めています。 代数的位相幾何学において、ベッチ数 (ベッチすう、英語: Betti numbers) は、位相空間に対する不変量であり、自然数に値をもつ。 トーラスはひとつの連結成分(b0)を持っていて、二つの円状の穴(b1)（ひとつは中心を原点とする円で、もうひとつは、管状になっている中の円状の部分）であり、2-次元の中身のない部分を中に持つ（内部が管状となっている）ものがひとつ(b2)であるので、ベッチ数は 1(b0), 2(b1), 1(b2) となる． 右の図のようなトーラスを考える。このトーラスに切り口が円周になるように切れ込みをいれたとき、その結果二つのピースに分かれない切り方が、穴のまわりにそって一周する方法と、縦に
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "微分位相幾何学" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2011年11月) 微分位相幾何学（びぶんいそうきかがく）もしくは微分トポロジー（英語：differential topology）は、多様体の微分可能構造に注目する幾何学の一分野。微分可能構造という位相のみでは決まらないものを扱うため純粋な位相幾何学として扱うのは難しい部分もあるが、位相が与えられている多様体の微分可能構造つまり微積分ができるような構造を調べるということで位相多様体を調べるもので、微分可能構造まで込めた多様体に距離や曲率を定めて研究を行う微分幾何学に比べ
1. カーネル法への招待 正定値カーネルによるデータ解析 － カーネル法の基礎と展開 － 福水健次 統計数理研究所／総合研究大学院大学 1 統計数理研究所 公開講座 2011年1月13,14日 概要 • カーネル法の基本 – 線形データ解析と非線形データ解析 – カーネル法の原理 • カーネル法の２つの例 – カーネル主成分分析: PCAの非線形拡張 – リッジ回帰とそのカーネル化 2 概要 • カーネル法の基本 – 線形データ解析と非線形データ解析 – カーネル法の原理 • カーネル法の２つの例 – カーネル主成分分析: PCAの非線形拡張 – リッジ回帰とそのカーネル化 3 データ解析とは? Analysis of data is a process of inspecting, cleaning, transforming, and modeling data with the go
英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Projection pursuit regression|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻
多様体学習紹介 中川研機械学習勉強会 2008/6/19 吉田 稔（中川研） ※数学的な部分はいい加減なのでご注意下さい 参考文献 • “Algorithms for manifold learning”, Lawrence Cayton, UCSD tech report CS2008‐0923 • “Robust Euclidean Embedding”, Lawrence Cayton, Sanjoy Dasgupta, ICML 2006 “Algorithms for manifold learning”, L. Cayton, UCSD tech report CS2008‐0923 多様体とは？（感覚的説明） • 見かけは違うが、実質的にはd次元ユーク リッド空間で表現できるような図形 • 「局所的に地図が書けるような図形」とも言え る（例：地球表面） 3次
多様体の定義で重要な点は、多様体の上にいかにして座標系を貼り付けるか？ということと、どのような座標系を用いたとしても計算に違いが現れないようにすることである。多様体は計算したいときに座標を導入でき、しかもどのような座標系で計算したとしても違いがない、すなわち座標系に依存しないという非常に扱いやすい性質が追求された図形である。 ここでいう計算とは関数やベクトル、それらの微分、積分などのユークリッド空間の上で普通に行われているような座標を用いた計算のことである。 同相写像 φ とその逆写像 φ−1 で対応付けられた（座標の無い）集合 U と（座標のある）集合 U ' M を位相空間とする。M の開集合 U に対して、m 次元ユークリッド空間の開集合 U ' への 同相写像 を局所座標系 (local coordinate system) あるいは（局所）チャート (chart) という。 a
画 像 認 識 を 計 算 機 で 行 なうために Edelsbrunner と Letscher と Zomorodian [ ELZ02 ] により 定 義 されたもので persistent homology と 呼 ばれるものがある 。 Gunnar Carlsson もかかわ っ ている [ ZC05 ] ようである 。 現在 では 応 用 トポロジ ー の 主 要 な 道 具 の 一 つにな っ ている 。 2012 年 の Edinburgh での 応 用 および 計 算 トポロジ ー の 集 会 では , 8 割 ぐらいの 講 演 で 使 われてい たように 思 う 。 その 後 参 加 した 応 用 トポロジ ー の 集 会 でも , ほとんどの 講 演 は persistent homology に 関 するものだ っ た 。 その 理 由 の 一 つは , 実 際 に
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1343207768 佐藤肇先生の『位相幾何』（岩波書店）の冒頭にはこう書かれています。 「位相幾何は、つながっているか、離れているかという本質的な違いのみを見つけていろいろな図形を分類する。 図形の穴の数を１コ、２コと数えるのは一つの表現であろう。また穴とは何で、穴の数はどのように数えられるものであろうか。実は、それを数学的に説明するのがホモトピー群、ホモロジー群、コホモロジー群であり、さらに図形の曲がり具合の程度を表すのが特性類である。直感的にいえば、i次元のホモトピー群は、i次元の“丸い穴”の様子を見ており、i次元のホモロジー群は、i次元の“部屋”の数を調べているということができるであろう。」 位相幾何の入門でまず勉強するのはホモロジーと基本群ですね。基本群はホモトピー
数学、とくに代数的位相幾何学や抽象代数学において、ホモロジー（英語: homology）は与えられた数学的対象、例えば位相空間や群に、アーベル群や加群の列を対応させる一つの一般的な手続きをいう。ホモロジーの名は「同一である」ことを意味するギリシャ語のホモス（ὁμός）に由来する。より詳しい背景については ホモロジー論 を見られたい。また、ホモロジーの手法の位相空間に対する具体的な適用については特異ホモロジーを、群についてのそれは群コホモロジーを、それぞれ参照されたい。 位相空間に対しては、ホモロジー群は一般にホモトピー群よりもずっと計算しやすく、したがって、空間を分類する道具としてはより手軽に扱える。 ホモロジー群は以下のような手続きを経て作られる。 数学的対象、たとえば位相空間 X が与えられたとき、まず X の情報を抽出したチェイン複体 C(X) を構成する。チェイン複体はアーベル群や
数学におけるホモトピー (homotopy) とは、点や線や面などの幾何学的対象、あるいはそれらの間の連続写像が連続的に移りあうということを定式化した位相幾何学における概念のひとつである。位相幾何学では、2 つの対象 A と X との関係のうち、連続的な変形によって保たれるものを問題とすることが多い。これらの関係はふつう連続写像 A → X を通して定義され、ホモトピーの概念は連続的に変形する連続写像の族によって定式化される。ホモトピー的な種々の不変量は位相幾何学の研究における基本的な道具となる。 考察している幾何学的対象に「穴」が開いていれば、端を固定された曲線はそれを越えて連続的に変形することができない。したがって、ホモトピーによって「穴」の有無や、単純な構成要素に分解したときのそれらの組み合わせ的なつながり具合といった構造を調べることができる。ホモトピーが威力を発揮するのは、空間や写
この定義を見てふと思い出すのはCW複体である。CW複体は、skeltonの列 があり、各inclusionはすべてcofibrationであるし、上の定義の最初の条件もホモトピー群の変わりにホモロジー群にしてみれば成り立っていることを示した。 このような分解（filter）を考えることにより、X = colim X_nの構造が安易にもとまる。同様にpostnikov分解の場合にはX = lim X_nの構造が求めやすくなる。 さらに単純な空間Xに対しては、そのpostnikov分解を考える事により、 という完全列を導ける。これより原理的にはXのホモトピー群をホモロジー群の計算だけで求める事ができる。このように複雑なホモトピー群の計算を、比較的安易なホモロジー群の計算に帰着させる事をCartan-Serreの方法と呼ばれている。
"Morse function" redirects here. For anharmonic oscillators, see Morse potential. In mathematics, specifically in differential topology, Morse theory enables one to analyze the topology of a manifold by studying differentiable functions on that manifold. According to the basic insights of Marston Morse, a typical differentiable function on a manifold will reflect the topology quite directly. Morse
昨日の記事で、多様体学習に触れた 多様体学習は、非線形に次元を下げる話と言い換えることができるが、それに関連する用語を挙げよう Isomap 点間距離を局所について測り、グラフ上の最短距離を局所において定める。その上で、すべての点間のグラフ上最短距離をそのつなぎ合わせとして決める。ペアワイズな最短距離が計算で来たら、それをユークリッド空間の距離のように見立ててMDSで低次元空間に埋め込む Kernel_PCA カーネル法(座標の計算をする代わりに内積計算をして計算量を減らす仕組みを使った方法)を文字込んだPCA拡張版。分解しやすいように、実際よりも次元を高くして分解できる条件を作ってやった上で、意味の大きい軸を引き出す Nonlinear dimensionality reduction methods これらを大きくくくるとNonlinear dimensionality reducti
1
リリース、障害情報などのサービスのお知らせ
最新の人気エントリーの配信
j次のブックマーク
k前のブックマーク
lあとで読む
eコメント一覧を開く
oページを開く
