現象
数学の対象は存在ではなく現象である。 というフレーズを思いついた。 1 という対象はどこにも存在しない。 整数という対象は存在しない。 整数の論理的条件に合致する現象について考えることしかできない。 最近、ホモトピー型理論 HoTT (Homotopy Type Theory) という理論を聞きかじった。 そこに univalence axiom (テキトーに訳すと「統価公理」)という要請がある。 ざっくりした理解で言えば、同じ振る舞いをする型は同じ型ということにする、という原理である。 実装の違いに依らず整数は整数、というような説明をされる。 この理論を計算機科学の文脈で捉えるだけなら実装と言っておけば良いのだが、 集合論に代わる基礎論の文脈からはこれをどう考えるのだろう、とどこか引っかかっていた。 整数のように振る舞う対象は整数である。 そう考えると、全ての自由巡回群は整数である。 集
この記事には複数の問題があります。改善やノートページでの議論にご協力ください。 出典がまったく示されていないか不十分です。内容に関する文献や情報源が必要です。（2023年8月） 正確性に疑問が呈されています。（2023年10月） 出典検索?: "数学の統一理論" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL 数学の統一理論（すうがくのとういつりろん、英: unified theory of mathematics）に到達するためのいくつかの試みが歴史的に行われてきた。数学者は、すべての主題（科目）は一つの理論に収まるべきであるという明確な展望を抱いている。[要出典] 統一化のプロセスには、統制のための規律として「数学を構成するところのものは何であるのか」を定義することが一つの助けとなる。 例えば、力
最近、高次圏の話をいくつか書いてますが、高次圏そのものに興味を持ったというより、高次圏と向き合わざるを得ない感じなのです。 マイクロコスモ原理の問題がけっこうシリアスで、なんとか回避したいのですが、どうもスッキリとは解決できないんです。仏教に帰依しようか … なんてね。 内容： マイクロコスモ原理 無限後退は回避されるのか マックレーンの五角形で試してみると 五角形の等式を検証 モノイドの定義が先送りされる構造 逆帰納ステップ 逆帰納ステップを止める手段 内部からの視点だけで処理すること マイクロコスモ原理 過去に何度か触れてますが、もう一度、マイクロコスモ原理の短い説明を引用しておきます。 https://ncatlab.org/nlab/show/microcosm+principle Microcosm principle: Certain algebraic structures
2016年9月に次の記事を書きました。 関数型プログラミングとオブジェクト指向について、何か書く、かも タイトルからして引き続く記事を予告しているのですが、その予告を実行することができませんでした。タイトル中の「何か」とは「型クラス」のことです。上記の記事の最後の部分は： 関数型プログラミングにもオブジェクト指向にも関係があって、今後重要度を増すであろう「型クラス」ですが、今述べた（愚痴った）ような事情で（あと、C++のコンセプトは宙ぶらりんだし）、説明の方針も題材も定まりません。でも、いつか、何か書く、かも。 今回この記事で、予備知識をあまり仮定しないで型クラスの説明をします。言いたいことの1/3くらいは書きました。1/3でも長い記事なので、ぼちぼちと読んでもらえれば、と。書き残したことは最後に触れます。いつか、1年はたたないうちに(苦笑)、続きを書くつもりです。 内容： Haskell
集合論でも圏論でも、宇宙は無限の彼方へと拡がっています。でも、適当な場所で限界を設けて、その限界の内側だけで十分なことが多い気がします。そのような狭い世界のなかでは、ファイルシステムやWebと同様に、パスにより実体を指し示すことができます。 昨日の記事「圏論的宇宙と反転原理と次元付きの記法」を前提とします。 内容： ワーキング宇宙 有界な圏論的宇宙 圏論的パス式 おわりに ワーキング宇宙 「現場の集合論としての有界素朴集合論」において、有界な宇宙Uというものを導入しました。Uには限界があります。銀河と呼ばれる集合（複数も可）がUの最上位にあり、銀河を越えて外に出ることはできません。 どこまでもどこまでも限りなく拡がる宇宙は魅力的ですが、たいていはご近所界隈で事が済むのではないかと思うのですよ。これは、無限に拡がる宇宙が存在しないとか、不要だと主張しているのではありません。現実的に何かの作業
The HoTT Book http://homotopytypetheory.org/book/ が完成したらしいけど、どっちかというと、数学者向けに書かれてて500ページもある。homotopy type theoryで今できてることって、CoqやAgdaで書いたら、せいぜい数千行とか、そんなもんじゃないかと思うので、長すぎる気がする 一応、HoTTに関わる知識は、型理論の他に、ホモトピー論や圏論(モナドとかHaskell関連で出てくる類の知識はあまり知らなくてもいいけど、higher categoryとか教科書に書いてなさそうな話題や、モデル圏とかを知ってるといい)があって、全部真面目に勉強しようと思うと、それぞれのテーマで一冊以上の本が書ける。ただ、実際には、ホモトピー論や圏論はアイデアや視点を提供しているだけで、あくまでCoqやAgdaで書かれてる部分が重要なので、ホモトピー論や
自然演繹は、その名の通りに「自然で分かりやすい」と言われたりします。僕は、そうは思いません。むしろ「不自然で分かりにくい」と感じます。導入規則と除去規則のあいだに綺麗な対称性がある、と言う人がいます。僕にはどこが綺麗か分かりません。無理クリに対称に見せてるだけで、むしろ歪んでいて汚ないじゃないか、と思います。 自然かどうか、綺麗かどうかは主観の問題ですから、議論しても不毛です。しかし、代替の定式化を示して、それを自然演繹と比較することにより、自然演繹を相対化することは出来ます。やってみます。 この記事の内容は、ここ10年くらい思っていたことです。口頭でしゃべったことはありますが（最後の節を参照）、まとまった記述はなかったので、割と丁寧に書きました。その結果、けっこう長大な記事となりました。 論理や圏論を学ぶには、まっとうな教科書を手元に置くのがよいでしょう。その教科書が主治医とするなら、僕
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仏教のキーワードのひとつに「空」（くう）がある。般若心経の一節、「色即是空 空即是色」にも出てくるあの「空」である。 仏教関係の書物を読み始めたとき、これがさっぱりわからなかった。しかし、ひょんなことからわかってきた。実際には、「空」がわかるためには、「自性」（じしょう）・「縁起」をわかる必要がある。 この３つが、同時にわかったと思えたのは、ナーガールジュナの『中論』をはじめとする、彼の一連の論文を読んでいるときであった。ナーガールジュナ（Nagarjuna：龍樹）は、釈迦の死後約５００年ほどしてインドに現れた。（西暦５０年から１５０年頃）大乗仏教に哲学的基盤を与え、後の仏教書で、彼の影響をうけていないものなど、ひとつとしてないといってよいほど、大きな影響を与えた人物である。ただ、彼の言っていることはどれも難解で、特に、独特の論理展開に慣れないと、詭弁を弄（ろう）しているとしか思えない面が
記号論理学における中級者を対象にしたテキスト．この領域の代表的理論を学び，数学の抽象化を推し進めた束論および圏論を援用して理解を深める．さらに「論理語がなぜ基本的と見なされるか」などの知識をめぐる根本的な問いを考察．30年間の講義をもとにした集大成． 第I部 記号論理の基礎理論 第１章 推理論――述語論理 第２章 計算論――帰納理論 第３章 計算論――λ計算論 第４章 集合論――公理的集合論ZFC 第II部 束論および圏論と記号論理 第１章 束論 第２章 記号論理と束 第３章 圏論 第４章 記号論理と圏 第III部 記号論理への知識論的考察 第１章 論理語の原始性 第２章 計算論における両義的領域 第３章 選択公理ACの正当性 付録 ゲーデル不完全性定理について
カテゴリ (圏論) とはブルバキ流の集合論とは対照的に, 存在 (集合) ではなく, 関係 (射) を基礎として数学を再定義するものです. 元々は代数幾何学の世界から出たものですが, 自分が関心があるのはトポスなど基礎論的な方面でした. 計算の意味論や型理論, 線形理論など, 計算機科学とも密接な関係があります. 興味からカテゴリ (圏論) を学んでみようと思っている非専門家の方のために, 手元にある参考書を挙げてみます. 層・圏・トポス - 現代的集合象を求めて, 竹内外史, 日本評論社, 1978 古典的な (日本語の) テキストですね. 僕は多分これを読んで圏論を知ったと思う. ぶっ飛んだ. 圏論の基礎, S.マックレーン, シュプリンガー・フェアラーク, 2005 これこそ古典的なテキストの第2版. "Categories for the Working Mathematician
片岡耕平『穢れと神国の中世』（2013年／講談社）の「序章」を読んでいる。 前回書いたように、死や出産を穢れとみなす意識の起源を遡ると、『延喜式』に行き当たるとのこと。平安時代中期に制定された、律令の施行細則。 完成したのは延長5（927）年らしいが、少し調べてみたところ、延喜5年から編纂され始めたらしいので、編纂開始の元号からその名がとられたのだろうと推測している。 そのなかの「穢忌条」では、人の死は30日、お産は7日と書かれてある。驚くことに、家畜の死やお産についても書かれてあるのだ。「（鶏は忌みの限りにあらず）」というかっこ書きが“産”に付け加えられていたりして、そうなるよなぁと思ってみたり。 で、何をしてはいけないかというと、参内したり神事に関わること。 なお、流産・妊娠・月経についての記述もある。 宮中の月経禁忌はたぶんいまでも続いていると思うのだけれど、上記のことも続けられてい
圏論による実世界のモデル化とOOP
＜2012/01/23 大幅に改訂＞ 情報システムのモデル部は対象とする実世界の記述である．記述は認識の上に立つから，どのようにすれば実世界を正しく認識することが出来るのか，それがまず問われる．ならば，｢認識行為」とはどのようなものであると考えるのか．その問いに対し，哲学の一分野として認識論があり，長い歴史と進化がある．では，OOPはどのような認識観に立つのだろうか．あるいは，どのような認識観で説明できるのだろうか．残念ながらそのような問いに答える論述を知らない．そこで，荒いながらも拙論を述べる．なお哲学全般については，主に，熊野純彦著：西洋哲学史（岩波新書2006年）と，廣松渉著：新哲学入門（岩波新書1988年）を参考にした． nullについて論じた前稿で，圏論を使用した．圏論では，「射」が主役である．射は，定義域domainと呼ぶ｢対象｣と値域codomainと呼ぶ「対象」の対で，定義
数理科学の基礎を知識批判の観点から研究しています。演繹科学の方法論としてのタルスキー意味論を拡張することを目的としています。圏、層、力学系、多様体などを道具として、それらの応用の基礎を探求している 何でもそもそもどういうことか、という問いまでさかのぼって考えたいが、数学はからっきし出来ない人、計算は早いが行き着く先はどこか不安な人、こういう人を歓迎します。卒論では全国学会レベルでまがりなりにも研究発表が可能なレベルまで指導します。大学院では、ほぼ18ヶ月以内に国際学会レベルで英語による研究の公表が可能なレベルまで指導します。 うちの研究室の雰囲気は、自由、自立、そして下克上です。論理学を学ぶと、計算機科学の基礎もある程度学ぶことなります。そのため、うちの研究室から出て行った人のなかには、情報関連の資格を取得したり、情報処理関連の職につく人がめだちます。 『論理学の基礎と演習〈CD-ROM
数学におけるトポス（topos）とは、位相空間上の層のなす圏を一般化した概念である。アレクサンドル・グロタンディークによるヴェイユ予想解決に向けた代数幾何学の変革の中で、数論的な図形（スキーム）の上で有意義なホモトピー・コホモロジー的量が定義できる細かい「位相」を考えるために導入された。 その後数理論理学者たちによる更なる公理化を経て、集合論のモデルを与える枠組みとしても認識されるようになった。 有限極限を持つ圏 Eがカルテシアン閉であるとは、任意の対象XについてXと直積を取る関手X × -: E→Eに右随伴関手(-)X: E→Eが存在する事をいう。 例えば集合の圏Setsや有限集合の圏FinSetsはカルテシアン閉だが位相空間の圏Topはカルテシアン閉でない。 一般に圏 E の対象Aの部分対象とはコドメインがAであるモノ射の同型類の事を言う。モノ射の引き戻しがモノ射になる事から、引き戻し
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